Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Néhány topologikus fogalom)
(Példa)
20. sor: 20. sor:
  
 
===Példa===
 
===Példa===
'''1. a''' Mik a izolált, torlódási, belső pontjai?  
+
'''1. a)''' Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?  
 
:<math>\{1\}\cup[2,3)</math>
 
:<math>\{1\}\cup[2,3)</math>
'''1. b''' Folytonos-e az inverze?
+
'''1. b)''' Folytonos-e az inverze?
 
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}
 
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
 
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
28. sor: 28. sor:
 
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
 
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
 
\end{matrix}\right.</math>
 
\end{matrix}\right.</math>
 +
 
===Határérték===
 
===Határérték===
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
'''Definíció.''' Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény '''folytonos''' az ''u'' &isin; Dom(''f'') pontban, ha  
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>
 
:<math>\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))</math>

A lap 2020. október 27., 21:54-kori változata

Tartalomjegyzék

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: u\in H'.

  • izolált pontjának nevezzük, ha uH, de nem torlódási pontja H-nak.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H

jelben: u\in \mathrm{int}\,H.

  • határpontjának nevezzük, ha torlódási pontja mind a halmaznak, mind a komplementerének.

A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.

Példa

1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?

\{1\}\cup[2,3)

1. b) Folytonos-e az inverze?

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.

Határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))
Személyes eszközök