Pontbeli határérték, folytonosság
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Néhány topologikus fogalom) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
: <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math> | : <math>\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset</math> | ||
(ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) ∩ ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>. | (ill. ekvivalens módon: (B<sub>r</sub>(''u'')\{u}) ∩ ''H'' végtelen) jelben: <math>u\in H'</math>. | ||
− | * '''izolált pontjának''' nevezzük, ha | + | * '''izolált pontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H</math>, de <math>u \not\in H'</math>. |
* '''belső pontjának''' nevezzük, ha | * '''belső pontjának''' nevezzük, ha | ||
:<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math> | :<math>\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H</math> | ||
jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>. | jelben: <math>u\in \mathrm{int}\,H</math>. | ||
− | * '''határpontjának''' nevezzük, ha | + | * '''határpontjának''' nevezzük, ha <math>u\in H'</math> és <math>u\in \overset{H}'</math>. |
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak. | A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak. |
A lap 2020. október 27., 23:04-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha , de .
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha és .
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈ . Ekkor