Pontbeli határérték, folytonosság
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
46. sor: | 46. sor: | ||
Dom(f) | Dom(f) | ||
− | '''Tétel B.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen | + | '''Tétel B.''' -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen <math>u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'</math> és ''A'' véges ('''R'''-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek. |
− | # <math>\exists\lim\limits_{u}f= | + | # <math>\exists\lim\limits_{u}f=A\,</math> |
− | # létezik az ''f''-nek olyan <math>\scriptstyle{\overline{f}}</math> ''u''-ban folytonos | + | # létezik az ''f''-nek olyan <math>\scriptstyle{\overline{f}}</math> ''u''-ban folytonos kiterjesztése (vagy módosítása), hogy |
− | #:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)= | + | #:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=A\,</math> |
A lap 2020. október 27., 23:19-kori változata
Tartalomjegyzék |
Folytonosság és határérték
Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha
jelben: .
Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.
Néhány topologikus fogalom
Ha H ⊆ R valós számhalmaz, akkor az u ∈ pontot az H
- torlódási pontjának nevezzük, ha
(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: .
- izolált pontjának nevezzük, ha , de .
- belső pontjának nevezzük, ha
jelben: .
- határpontjának nevezzük, ha és .
A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.
Példa
1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?
1. b) Folytonos-e az inverze?
Határérték
Definíció. Legyen f: R R függvény, u ∈ Dom(f)' és A ∈ u ∈ . Ekkor
Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --
Legyen és , ekkor a következők ekvivalensek egymással:
- vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy és .
******************* ******************* * Dom(f)' * iz * lim, C * * * ******************* ******************* Dom(f)
Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen és A véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.
- létezik az f-nek olyan u-ban folytonos kiterjesztése (vagy módosítása), hogy
- és