Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2020. október 27., 22:10-kor történt szerkesztése után volt.

Tartalomjegyzék

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: u\in H'.

  • izolált pontjának nevezzük, ha u\in H, de u \not\in H'.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H

jelben: u\in \mathrm{int}\,H.

  • határpontjának nevezzük, ha u\in H' és u\in \overline{H}'.

A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.

Példa

1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?

\{1\}\cup[2,3)

1. b) Folytonos-e az inverze?

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.

Határérték

Definíció. Legyen f: R \supset\!\to R függvény, u ∈ Dom(f)' és Au\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}. Ekkor

\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)

Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --

Legyen f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R} és u\in\mathrm{Dom}(f), ekkor a következők ekvivalensek egymással:

  1. f folytonos u-ban
  2. u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy u\in\mathrm{Dom}(f)' és \exists \lim\limits_u f=f(u).

Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen u a Dom(f) véges torlódási pontja és v véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.

  1. \exists\lim\limits_{u}f=v\,
  2. létezik az f-nek olyan \scriptstyle{\overline{f}} u-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy
    \overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}} és \overline{f}(u)=v\,
Személyes eszközök