Pontbeli határérték, folytonosság

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2020. október 27., 22:45-kor történt szerkesztése után volt.

Tartalomjegyzék

Folytonosság és határérték

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az u ∈ Dom(f) pontban, ha

\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u))\subseteq B_\varepsilon(f(u))

jelben: f\in \mathrm{C}(u).

Ehhez rendkívül hasonló fogalom a határérték, de azt nem Dom(f) pontjaiban vizsgáljuk, hanem ehhez közeli pontokban, Dom(f) torlódási pontjaiban. Arra van ugyanis szükségünk, hogy matematikailag meg tudjuk fogalmazni a "közeli" fogalmat.

Néhány topologikus fogalom

Ha HR valós számhalmaz, akkor az u\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}} pontot az H

  • torlódási pontjának nevezzük, ha
\forall r>0\;(B_r(u)\setminus\{u\})\cap H\ne \emptyset

(ill. ekvivalens módon: (Br(u)\{u}) ∩ H végtelen) jelben: u\in H'.

  • izolált pontjának nevezzük, ha u\in H, de u \not\in H'.
  • belső pontjának nevezzük, ha
\exists r>0\;B_r(u)\subseteq H

jelben: u\in \mathrm{int}\,H.

  • határpontjának nevezzük, ha u\in H' és u\in \overline{H}'.

A folytonosság definíciójából következik, hogy 1. a polinomok folytonosak, 2. izolált pontban a függvények folytonosak.

Példa

1. a) Mik az izolált, torlódási, belső pontjai?

\{1\}\cup[2,3)

1. b) Folytonos-e az inverze?

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.

(f(x)=\mathrm{sgn}(x)\cdot(x^2+1))

Határérték

Definíció. Legyen f: R \supset\!\to R függvény, u ∈ Dom(f)' és Au\scriptstyle{\overline{\mathbf{R}}}. Ekkor

\exists \lim\limits_u f=A\;\Leftrightarrow\;\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\; f(B_\delta(u)\setminus\{u\})\subseteq B_\varepsilon(A)

Tétel A. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke --

Legyen f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R} és u\in\mathrm{Dom}(f), ekkor a következők ekvivalensek egymással:

  1. f\in \mathrm{C}(u)
  2. vagy u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy u\in\mathrm{Dom}(f)' és \exists \lim\limits_u f=f(u).
        *******************
*******************       * Dom(f)'
*  iz   *  lim, C *       *
*       *******************
*******************
Dom(f)

Tétel B. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető, megszüntethető szakadás -- Legyen f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}, u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)' és A véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.

  1. \exists\lim\limits_{u}f=A\,
  2. létezik \scriptstyle{\overline{f}}:\mathrm{Dom}(f)\cup\{u\}\to \mathbf{R}, \scriptstyle{\overline{f}}\in\mathrm{C}(u), hogy
    \overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}} és \overline{f}(u)=A\,

Szakadás

A folytonosság Heine-féle jellemzése: Az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+})\;x_n\to u\;\Rightarrow\;f(x_n)\to f(u)

Ebből kapjuk azt a rendkívül hasznos eszközt, amellyel a nem-folytonosságot jellemezni tudjuk:

Pontbeli nem-folytonosság jellemzése. Az f: R \supset\!\to R függvény nem folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

létezik olyan (x_n)\in\mathrm{Dom}(f)^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár x_n\to u, de f(x_n)\not\to f(u).

Definíció. f:\mathbf{R}\supset\!\to\mathbf{R}, u\in \mathbf{R}\cap \mathrm{Dom}(f)'. Azt mondjuk, hogy f-nek szakadása van u-ban, ha vagy u\not\in\mathrm{Dom}(f) vagy f\not\in\mathrm{C}(u).

Példa

2. sgn nem folytonos 0-ban,

3. \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty, \not\exists\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x},, \lim\limits_{x\to 0+}\dfrac{1}{x}=+\infty, \lim\limits_{x\to 0-}\dfrac{1}{x}=-\infty,

4. \not\exists\lim\limits_{x\to 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right),

5. \lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right),

Nevezetes határértékek

\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{\mathrm{ln}(1+x)}{x}=1\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\,
\lim\limits_{x\to +\infty}\mathrm{arc\,tg}\,x=\frac{\pi}{2}

Példák

\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(4x)}{\sin(3x)}=?\,
\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^{2x^2}-1}{x}=?\,
\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}\,x + 4\pi}{\mathrm{arc\,tg}\,3x +\pi}
Személyes eszközök