Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | ''' | + | '''Halmazok.''' |
# '''Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!''' | # '''Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!''' | ||
18. sor: | 18. sor: | ||
:<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math> | :<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math> | ||
:<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math> | :<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math> | ||
+ | |||
+ | 2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az ''X'' komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük ''X''-szel: | ||
+ | :<math>\begin{matrix} | ||
+ | (A-X) \cup B & = & X \\ | ||
+ | (A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\ | ||
+ | ((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\ | ||
+ | (A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\ | ||
+ | (A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\ | ||
+ | B\cap X & = & X | ||
+ | \end{matrix}</math> | ||
+ | ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy ''X'' ⊆ ''B''. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva": | ||
+ | :<math> [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B</math> | ||
+ | amiből következik, hogy ''B'' ⊆ ''X'' és ''A'' ⊆ ''X''. Ez egyfelől azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig | ||
+ | :<math>X=B\,</math> | ||
+ | |||
+ | Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor ''A'' ⊆ ''X'' = ''B'', vagyis ''A'' ⊆ ''B''. De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor ''A'' U ''B'' = ''B'' és az egyenlet: | ||
+ | :<math> [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)= B\cap (\overline{X}\cup B)=B</math> | ||
+ | az elnyelési tulajdonság miatt. |
A lap 2008. október 11., 09:51-kori változata
Halmazok.
- Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
- Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
Megoldás. 1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:
ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:
Tehát D = A.
Boole-algebrai formalizmusban:
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:
ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":
amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez egyfelől azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis A ⊆ B. De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor A U B = B és az egyenlet:
az elnyelési tulajdonság miatt.