Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) a |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
2. sor: | 2. sor: | ||
# '''Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!''' | # '''Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!''' | ||
− | # | + | ## <math>(A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?</math> |
+ | ## <math>(A\cap B)\cup C=?</math>, ha <math>A\subseteq C</math>. | ||
# '''Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, ''X''-re!''' | # '''Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, ''X''-re!''' | ||
## <math> (A-X)\cup B=X\,</math> | ## <math> (A-X)\cup B=X\,</math> | ||
## <math>A-X=X-A\,</math> | ## <math>A-X=X-A\,</math> | ||
− | ''Megoldás.'' 1. Legyen ''D'' a feladatban szereplő halmaz és legyen ''U'' = ''A'' U ''B'' U ''C'' a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki ''A''-t! | + | ''Megoldás.'' |
+ | |||
+ | 1.1. Legyen ''D'' a feladatban szereplő halmaz és legyen ''U'' = ''A'' U ''B'' U ''C'' a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki ''A''-t! | ||
:<math>D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=</math> | :<math>D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=</math> | ||
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk ''B''-t a második két tagjából ''B'' komplementert: | A második tényező első két tagjából kiemelhetünk ''B''-t a második két tagjából ''B'' komplementert: | ||
15. sor: | 18. sor: | ||
Tehát ''D'' = ''A''. | Tehát ''D'' = ''A''. | ||
− | Boole-algebrai formalizmusban: | + | Vagy Boole-algebrai formalizmusban: |
:<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math> | :<math>d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=</math> | ||
:<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math> | :<math> =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a</math> | ||
+ | |||
+ | 1.2. | ||
+ | :<math>(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C</math> | ||
+ | az elnyelési tulajdonság miatt és mert ''A'' ⊆ ''C'' pontosan azt jelenti, hogy ''A'' U ''C'' = ''C''. | ||
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az ''X'' komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük ''X''-szel: | 2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az ''X'' komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük ''X''-szel: |
A lap 2008. október 11., 10:01-kori változata
Halmazok.
- Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
- , ha .
- Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
Megoldás.
1.1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:
ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:
Tehát D = A.
Vagy Boole-algebrai formalizmusban:
1.2.
az elnyelési tulajdonság miatt és mert A ⊆ C pontosan azt jelenti, hogy A U C = C.
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:
ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":
amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis
De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:
2.2.
vagyis
Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor
azaz A ⊆ X, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért X ⊆ A is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.