Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sík és egyenes) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számok) |
||
86. sor: | 86. sor: | ||
#:<math>z^8-3z^4+4=0\,</math> | #:<math>z^8-3z^4+4=0\,</math> | ||
# '''Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!''' | # '''Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!''' | ||
− | #:<math>\frac{1}{2^ | + | #:<math>\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}</math> |
''Megoldás.'' | ''Megoldás.'' | ||
108. sor: | 108. sor: | ||
:<math>\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=</math> | :<math>\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=</math> | ||
:<math>=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1</math> | :<math>=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1</math> | ||
+ | |||
===Sorozatok=== | ===Sorozatok=== | ||
# Igazak-e a következő kijelentések? | # Igazak-e a következő kijelentések? |
A lap 2008. október 15., 20:02-kori változata
Tartalomjegyzék |
Halmazok
- Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
- , ha .
- Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
Megoldás.
1.1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:
ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:
Tehát D = A.
Vagy Boole-algebrai formalizmusban:
1.2.
az elnyelési tulajdonság miatt és mert A ⊆ C pontosan azt jelenti, hogy A U C = C.
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:
ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":
amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis
De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:
2.2.
vagyis
Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor
azaz A ⊆ X, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért X ⊆ A is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.
Sík és egyenes
Van-e olyan sík, mely tartalmazza az
- illetve
egyeneseket?
Komplex számok
- Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
- Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!
Megoldás.
1. w = z4 új ismeretlennel:
ami a megoldóképlet szerint:
ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.
Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:
- és ,
így
2.
Sorozatok
- Igazak-e a következő kijelentések?
- Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
- Ha egy sorozat monoton és van konvergens részsorozata, akkor konvergens.
- Ha egy sorozat divergens, akkor az (1/n)-nel vett szorzata konvergens.
- Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata.
- Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata.
- Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív.
- Ha (an+1 an) nullsorozat, akkor (an) konvergens.
- Mennyi?
- Konvergens-e?
- esetén
- esetén