Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 12

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo(Változatok közti eltérés)
(Ekvikonvergencia-kritérium)
 
56. sor: 56. sor:
 
:<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}</math>  
 
:<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}</math>  
 
:<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math>
 
:<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math>
 +
 +
Alkalmazások, forgástest térfogata: :''Lásd:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/43_Integral_alkalmazasok.pdf itt]

A lap jelenlegi, 2017. június 16., 10:53-kori változata

Tartalomjegyzék

Improprius integrál

Lásd például: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!

Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f improprius integrálható I-n és improprius integrálján az

\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\to \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\to \mathrm{inf}(I)}F(x)\,

számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.

Elemi példák

1.

\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to 1}\mathrm{ln}x-\lim\limits_{x\to 0}\mathrm{ln}x=0-(-\infty)=+\infty

azaz nem konvergens.

2. Ellenben a

\int\limits_{0}^1\frac{1}{x^r}\,\mathrm{d}x\quad\quad(r<1)

már létezik, mert F(x)=\frac{1}{-r+1}\frac{1}{x^{r-1}}=\frac{1}{-r+1}x^{1-r} ha x\to 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.

\int\limits_{0}^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=...

3. Hasonlóképpen

\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x

szintén konvergens.

Összetettebb példák

1.

\int\limits_{0}^\infty\frac{\mathrm{arctg}^7\,x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x-\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x=\frac{\pi}{16}-0=0

Ekvikonvergencia-kritérium

Tétel. (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I \to R függvények lokálisan integrálhatók, u az I akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}

határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.

A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni:

f(x)\sim_ug(x)\quad\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad\quad\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbf{R}^+

és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g.

Példák. 1.

\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x^2}

Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x2. ezt a következőkkel igazoljuk:

\lim\limits_{+\infty}\frac{\frac{\mathrm{arc\,tg}\,(x)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{+\infty}\mathrm{arc\,tg}\,(x)=\frac{\pi}{2}

Tehát az integrál konvergens.

\int\limits_{1}^{
+\infty}\sin\frac{1}{x^2}
\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sin x^3}
\int\limits_{1}^{\infty}\sin^3\frac{1}{x}
\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}
\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}
\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)

Alkalmazások, forgástest térfogata: :Lásd: itt

Személyes eszközök