Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 12
Tartalomjegyzék |
Improprius integrál
- Lásd például: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!
Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f improprius integrálható I-n és improprius integrálján az
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
Elemi példák
1.
azaz nem konvergens.
2. Ellenben a
már létezik, mert ha x 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.
3. Hasonlóképpen
szintén konvergens.
Összetettebb példák
1.
Ekvikonvergencia-kritérium
Tétel. (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I R függvények lokálisan integrálhatók, u az I akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a
határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.
A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni:
és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g.
Példák. 1.
Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x2. ezt a következőkkel igazoljuk:
Tehát az integrál konvergens.