Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 13
Mozo (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „==Primitívfüggvény-keresés== Primitívfüggvény-keresésnek két metódusa van. Az egyik a '''helyettesítéses integrálás''', a másik a '''parciális integrál…”) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Rekurziós integrálok, formulák) |
||
282. sor: | 282. sor: | ||
====Rekurziós integrálok, formulák==== | ====Rekurziós integrálok, formulák==== | ||
'''1.''' | '''1.''' | ||
− | : <math>\int\frac{\mathrm{ln}\,x}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{ln}^\,x-\int \frac{1}{x}\cdot\mathrm{ln}\,x \,\mathrm{d}x</math> | + | : <math>\int\frac{\mathrm{ln}\,x}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{ln}^2\,x-\int \frac{1}{x}\cdot\mathrm{ln}\,x \,\mathrm{d}x</math> |
az | az | ||
:<math>F = \mathrm{ln} \quad\quad\to '\quad\quad f=F'=\frac{1}{\mathrm{id}}</math> | :<math>F = \mathrm{ln} \quad\quad\to '\quad\quad f=F'=\frac{1}{\mathrm{id}}</math> | ||
:<math>g = \frac{1}{\mathrm{id}} \quad\quad\to ^\int\quad\quad G=\int g= \mathrm{ln}</math> | :<math>g = \frac{1}{\mathrm{id}} \quad\quad\to ^\int\quad\quad G=\int g= \mathrm{ln}</math> | ||
szereposztással. A formulában visszatért a keresett integrál, így ezt kifejezve: | szereposztással. A formulában visszatért a keresett integrál, így ezt kifejezve: | ||
− | : <math>\int\frac{\mathrm{ln}\,x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}^\,x+C</math> | + | : <math>\int\frac{\mathrm{ln}\,x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}^2\,x+C</math> |
'''2.''' | '''2.''' | ||
:<math>\int\cos(x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x=\cos(x)\cdot e^x -\int(-\sin x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x-\int\cos(x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x</math> | :<math>\int\cos(x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x=\cos(x)\cdot e^x -\int(-\sin x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x-\int\cos(x)\cdot e^x\,\mathrm{d}x</math> | ||
300. sor: | 300. sor: | ||
:<math>=\frac{1}{2}\int x\frac{2x}{(x^2+1)^n}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}-\int\frac{1}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}-\frac{1}{n-1}\cdot I_{n-1}</math> | :<math>=\frac{1}{2}\int x\frac{2x}{(x^2+1)^n}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}-\int\frac{1}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{(n-1)(x^2+1)^{n-1}}-\frac{1}{n-1}\cdot I_{n-1}</math> | ||
azaz <math> I_n</math> kifejezhető <math>I_{n-1}</math>-segítségével. | azaz <math> I_n</math> kifejezhető <math>I_{n-1}</math>-segítségével. | ||
+ | |||
====Inverzfüggvények integrálja==== | ====Inverzfüggvények integrálja==== | ||
Az | Az |
A lap jelenlegi, 2017. június 13., 20:15-kori változata
Tartalomjegyzék |
Primitívfüggvény-keresés
Primitívfüggvény-keresésnek két metódusa van. Az egyik a helyettesítéses integrálás, a másik a parciális integrálás. Ezek előtt azonban egy triviális módszer, a deriválási táblázat megfodítása és az integrál eltolásinvarianciájának felhasználása. (Esetleg a lineáris argumentumú alapintegrál kiszámítása.)
Alapintegrálra visszavezethető integrálok
Ha tehát vesszük az elemi függvények és inverzeinek deriválási táblázatát, akkor jobbról balra olvasva megkapjuk az alapintegrálok táblázatát.
Alapintegrálok kiszámítása táblázatból
vagy a legkönnyebben elronthatók:
Alapintegrálok és eltolásinvariancia
Az integrál eltolásinvarianciáját használva:
Lineáris agrumentumú integrandus
A lineáris agrumentumúkra vonatkozó képlet:
ahol F'=f. Hiszen az összetett függvény deriválási szabálya szerint:
Ezzel pl:
Megjegyzés. Érdemes fejünkbe vésni a sin függvény deriváltajainak függvénysorozatát:
- sin
- cos
- − sin
- − cos
- sin
- cos
felfejé haladva integrálunk, lefelé haladva deriválunk.
pl.
Polinom/lineáris alak
itt már érdemes polinomosztással eljárni:
(x^2 + 2) : (x - 1) = x + 1 - x^2 - x --------- x + 2 - x - 1 -------- 3
Néha x2 + 1 nevezőjűre is működik:
Linearizáló formulák
Ezek arra alkalmasak, hogy a sin2, cos2, sh2. ch2 függvényeket (illetve alkalmasan megváltoztatott argumentumú változatukat) ki lehessen integrálni:
Mindezek a következők miatt állnak fenn:
ezért ezeket kivonva ill. összeadva, majd 2-vel elosztva a felső kettőt kapjuk. A másik kettő:
Itt érdemes megjegyezni az Osborne-szabályt: ha egy trigonometrikus azonosságban kicseréljük a megfelelő hiperbolikus függvényekre az összetevőket és minden olyan tag előjelét megváltoztatjuk, melyek két sh szorzatából állnak (speciálisan a sh2-ek elé egy - jelet teszünk), akkor megkapjuk a hiperbolikus azonosságot. Lásd: Osborne-szabály.
Ezek főleg határozott integráloknál adnak "szép" eredményt
Példa.
Helyettesítéses integrálás
Az első keresési eljárás az összetett függvény deriválási szabályának megfordításán alapul.
Tétel. Legyen g:I J, F: J R folytonosan differenciálható függvények és f: J R pedig olyan, hogy az F' = f, akkor az x f(g(x)) g'(x)-nek is létezik primitív függvénye és
Bizonyítás. A primitív függvény létezését az garantálja, hogy az integrandus folytonos.
Elegendő ellenőrizni, hogy x F(g(x)) primitív függvénye x f(g(x)) g'(x)-nek, azaz az előbbi deriváltja az utóbbi:
QED.
...-alakú integrálok
Ebből a tételből származtathatjuk a "... alakú integrálokat":
Példák.
1. hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
2.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
3.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
4.
hiszen a "külső" függvény:
a "belső" függvény:
Integrálás a helyettesítés elvégzésével
Megjegyzés. Intermezzóként megemlítjük, hogy a helyettesítés elnevezés abból fakad, hogy ekkor lényegében új ismeretlent vezetünk be. Persze az ezzel való számolás egy egészen más szemléletet igényel. A fő képlet ekkor:
ahol el kell végezni az
szimbolikus helyettesítést.
5. (exponenciális helyettesítés)
5. (gyökös helyettesítés)
6. (trigonometrikus helyettesítés)
Parciális integrálás
A helyettesításes integrálás a függvénykompozíció deriválására szolgáló képlet felhasználása volt primitívfüggvény keresésre. Most a szorzási szabályt fogjuk használni.
Tétel. Legyen f,g:[a,b] R folytonos és F,G:[a,b] R differenciálható olyan, hogy F' = f, G' = g. Ekkor az alábbi képletben szereplő összes integrandusnak létezik primitív függvénye és
Bizonyítás. Elég a bizonyítani, hogy a jobb oldal deriváltja a baloldali integrandus. Ehelyett egy kicsit másként csináljuk: belátjuk, hogy az FG függvény primitívfüggvénye az fG + Fg függvénynek, majd kefejezzük velőle a fenti formula baloldalát:
tehát
amiből már következik a fenti formula. QED.
Polinom szor exp, trig, hip
Az első alkalmazás az, amikor a egymás után parciális integrálásokkal polinommentes formulává alakítjuk az integrandust. Ekkor a fenti képlet F-je a polinom, amiből egyel alacsonyabb fokú polinomszoros integrandus keletkezik az ∫fG integrál esetén.
Hiszen
Egy hasonló:
Hiszen
Rekurziós integrálok, formulák
1.
az
szereposztással. A formulában visszatért a keresett integrál, így ezt kifejezve:
2.
amiből
tehát kétszeri parciális integrálással értük el.
3. Rekurziós formulát kapunk az alábbi In alakú integrálokra: az utolsó tagot parciálisan integráljuk ki:
azaz In kifejezhető In − 1-segítségével.
Inverzfüggvények integrálja
Az
trükk sokszor alkalmas arra, hogy az inverz függvények integrálját parciálisan kiintegráljuk, hiszen az inverz függvények deriváltjának képlete az utolsó tényezőt a kezünkre játssza. Speciálisan a módszer alkalmas az összes ln, arc és ar függvény kiintegrálására.