Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
33. sor: 33. sor:
 
:<math>X=B\,</math>
 
:<math>X=B\,</math>
  
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor  ''A'' &sube; ''X'' = ''B'', vagyis ''A'' &sube; ''B''. De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor ''A'' U ''B'' = ''B'' és az egyenlet:
+
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor  ''A'' &sube; ''X'' = ''B'', vagyis ''A'' &sube; ''B''. De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az ''X'' = ''B'' helyettesítés kielégíti az egyenletet:
:<math> [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)=  B\cap (\overline{X}\cup B)=B</math>
+
:<math> \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B</math>
az elnyelési tulajdonság miatt.
+

A lap 2008. október 11., 09:55-kori változata

Halmazok.

  1. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
    (A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})
  2. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
    1.  (A-X)\cup B=X\,
    2. A-X=X-A\,

Megoldás. 1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!

D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=

A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:

=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=

ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:

=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A

Tehát D = A.

Boole-algebrai formalizmusban:

d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=
 =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a

2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:

\begin{matrix}
(A-X) \cup B & = & X \\
(A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\
((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\
(A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\
(A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\
B\cap X & = & X 
\end{matrix}

ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy XB. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":

 [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B

amiből következik, hogy BX és AX. Ez egyfelől azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig

X=B\,

Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor AX = B, vagyis AB. De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:

 \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B
Személyes eszközök