Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sorozatok) |
||
87. sor: | 87. sor: | ||
## Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata. | ## Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata. | ||
## Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata. | ## Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata. | ||
− | ## Ha egy sorozat minden tagja pozitív | + | ## Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív. |
## Ha (a<sub>n+1</sub> - a<sub>n</sub>) nullsorozat, akkor (a<sub>n</sub>) konvergens. | ## Ha (a<sub>n+1</sub> - a<sub>n</sub>) nullsorozat, akkor (a<sub>n</sub>) konvergens. |
A lap 2008. október 13., 13:22-kori változata
Tartalomjegyzék |
Halmazok
- Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
- , ha .
- Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
Megoldás.
1.1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:
ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:
Tehát D = A.
Vagy Boole-algebrai formalizmusban:
1.2.
az elnyelési tulajdonság miatt és mert A ⊆ C pontosan azt jelenti, hogy A U C = C.
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:
ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":
amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis
De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:
2.2.
vagyis
Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor
azaz A ⊆ X, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért X ⊆ A is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.
Sík és egyenes
Komplex számok
- Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
- Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!
Megoldás.
1. w = z4 új ismeretlennel:
ami a megoldóképlet szerint:
ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.
Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:
- és ,
így
2.
Sorozatok
- Igazak-e a következő kijelentések?
- Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
- Ha egy sorozat monoton és van konvergens részsorozata, akkor konvergens.
- Ha egy sorozat divergens, akkor az (1/n)-nel vett szorzata konvergens.
- Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata.
- Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata.
- Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív.
- Ha (an+1 - an) nullsorozat, akkor (an) konvergens.