Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számok) |
||
61. sor: | 61. sor: | ||
''Megoldás.'' | ''Megoldás.'' | ||
+ | |||
+ | 1. ''w'' = ''z''<sup>4</sup> új ismeretlennel: | ||
+ | |||
+ | :<math>w^2-3w-4=0\,</math> | ||
+ | ami a megoldóképlet szerint: | ||
+ | :<math>w_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=</math> | ||
+ | ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni. | ||
+ | :<math>=\frac{3\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek: | ||
+ | :<math>\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}</math> és <math>\,1</math>, | ||
+ | így | ||
+ | :<math>z_{1234}=\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}\cdot i</math> | ||
+ | :<math>z_{5678}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i,\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math> | ||
2. | 2. |
A lap 2008. október 13., 14:03-kori változata
Halmazok
- Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
- , ha .
- Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
Megoldás.
1.1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!
A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:
ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:
Tehát D = A.
Vagy Boole-algebrai formalizmusban:
1.2.
az elnyelési tulajdonság miatt és mert A ⊆ C pontosan azt jelenti, hogy A U C = C.
2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:
ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":
amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig
Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis
De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:
2.2.
vagyis
Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor
azaz A ⊆ X, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért X ⊆ A is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.
Sík és egyenes
Komplex számok
- Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
- Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!
Megoldás.
1. w = z4 új ismeretlennel:
ami a megoldóképlet szerint:
ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.
Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:
- és ,
így
2.