Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2020. október 1., 22:27-kor történt szerkesztése után volt.

Tartalomjegyzék

Halmazok

  1. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
    1. (A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?
    2. (A\cap B)\cup C=?, ha A\subseteq C.
  2. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
    1.  (A-X)\cup B=X\,
    2. A-X=X-A\,
  3. Igazolja minden A, B, C halmazra, hogy
    1.  A\cup (B\cap C)= (A\cup B)\cap C\,\Leftrightarrow\,A \subseteq C
  4. Igazolja minden (A_i)_{i\in I} és (A_(i,j))_{(i,j)\in I\times J} halmazrendszerre, hogy
    1.  B\setminus\bigcup\limits_{i\in I}A_i=\bigcap\limits_{i\in I}B\setminus A_i
    2.  \bigcup\limits_{i\in I}\bigcap\limits_{j\in J} A_{(i,j)}=\bigcap\limits_{j\in J}\bigcup\limits_{i\in I} A_{(i,j)}


Megoldás.

1.1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!

D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=

A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:

=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=

ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:

=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A

Tehát D = A.

Vagy Boole-algebrai formalizmusban:

d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=
 =a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a

1.2.

(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C

az elnyelési tulajdonság miatt és mert AC pontosan azt jelenti, hogy A U C = C.

2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:

\begin{matrix}
(A-X) \cup B & = & X \\
(A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\
((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\
(A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\
(A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\
B\cap X & = & X 
\end{matrix}

ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy XB. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":

 [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B

amiből következik, hogy BX és AX. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig

X=B\,

Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor AX = B, vagyis

A\subseteq B\,

De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:

 \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B

2.2.

A-X=X-A\,

vagyis

A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,

Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor

A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,
A\cap\overline{X}=\emptyset

azaz AX, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért XA is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.

3.

Geometria vektorokkal

1. Igazoljuk, hogy a paralelogramma átlói felezik egymást!

Mo. Legyen egy csúcsból kiinduló két oldalvektor a és b. Az átlók pontjai:

\mathbf{r}(\lambda)=\lambda.(\mathbf{a}+\mathbf{b})\,, \lambda\in[0,1]
\mathbf{r}(\mu)=\mathbf{a}+\mu.(\mathbf{b}-\mathbf{a})\,, \mu\in[0,1]

Világos, hogy az átlók felezéspontjai a λ=μ=1/2 értékeknél vannak. Ezek a pontok pedig egybeesnek, hisz

\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}+\frac{1}{2}(\mathbf{b}-\mathbf{a})

2. Igazoljuk, hogy ha a kezdőpontot a háromszög körül írható körének középpontjában veszük föl, akkor onnan felírva a csúcsokba mutató a, b és c vektorok m = a + b + c összege a magasságpont.

Mo. m - a merőleges a szemben fekvő oldallal, hisz:

(\mathbf{c}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{m}-\mathbf{a})=(\mathbf{c}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{b}^2-\mathbf{c}^2=R^2-R^2=0

m - a tehát irányvektora egy magasságvonalnak, ugyanígy m - b és m - c is. Emiatt a magasságegyenesek:

\mathbf{r}(t)=\mathbf{a}+t.(\mathbf{m}-\mathbf{a})\,
\mathbf{r}(s)=\mathbf{b}+s.(\mathbf{m}-\mathbf{b})\,
\mathbf{r}(u)=\mathbf{b}+u.(\mathbf{m}-\mathbf{b})\,

De ezek egy pontban találkoznak, az m-ben.

Sík és egyenes

Van-e olyan sík, mely tartalmazza az

e:\left\{

\begin{matrix}

x=2+2t\\

y=1-t\\

z=1+3t

\end{matrix}

\right. illetve f:\left\{


\begin{matrix}

x=3+4t'\\

y=1-2t'\\

z=1+6t'

\end{matrix}\right.

egyeneseket?

Komplex számok

  1. Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
    z^8-3z^4+4=0\,
  2. Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!
    \frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}

Megoldás.

1. w = z4 új ismeretlennel:

w^2-3w-4=0\,

ami a megoldóképlet szerint:

w_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=

ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.

=\frac{3\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right.

Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:

\sqrt[4]{4}=\sqrt{2} és \,1,

így

z_{1234}=\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}\cdot i
z_{5678}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i,\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i

2.

\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}=\frac{1}{2^{10}}\left(i+1\right)^{20}=\left(\frac{i+1}{\sqrt{2}}\right)^{20}=
\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=
=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1

Sorozatok

  1. Igazak-e a következő kijelentések?
    1. Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
    2. Ha egy sorozat monoton és van konvergens részsorozata, akkor konvergens.
    3. Ha egy sorozat divergens, akkor az (1/n)-nel vett szorzata konvergens.
    4. Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata.
    5. Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata.
    6. Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív.
    7. Ha (an+1 -\, an) nullsorozat, akkor (an) konvergens.
  2. Mennyi?
    1. \lim\limits_{n\to \infty}\frac{(3-\frac{2}{n})^n}{3^n}
    2. \lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^5-5^{n-5}}{5^n-5n}
  3. Konvergens-e?
    1. \,a_n=n^n esetén \frac{a_{n+1}}{a_n}
    2. \,a_n=2^n+n^2 esetén \sqrt{a_n}

Függvényvizsgálat

Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából.

f(x)=\frac{1}{x^2+e^{\frac{1}{x}}}\,


b)

f'(x)=\frac{-2x+e^{\frac{1}{x}}\frac{1}{x^2}}{(x^2+e^{\frac{1}{x}})^2}

zh: hány megoldása van az

2x^3=e^{\frac{1}{x}}\,

egyenletnek? x pozitív,

g(x)=2x^3-e^{\frac{1}{x}}

deriváltja pozitív, tehát szig. mon nő, azaz legfeljebb csak egy megoldás van. Bolzano-tételből köv., hogy van megoldás. Legyen ez xM. Előjele: előtte +, utána -. Negatívokra +.

Személyes eszközök