Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.

Halmazok.

1. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!

   $(A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})$

2. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
   1. $(A-X)\cup B=X\,$
   2. $A-X=X-A\,$

Megoldás. 1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!

$D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=$

A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:

$=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=$

ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:

$=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A$

Tehát D = A.

Boole-algebrai formalizmusban:

$d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=$

$=a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a$

2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:

$\begin{matrix} (A-X) \cup B & = & X \\ (A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\ ((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\ (A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\ (A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\ B\cap X & = & X \end{matrix}$

ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":

$[\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B$

amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez egyfelől azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig

$X=B\,$

Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis A ⊆ B. De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor A U B = B és az egyenlet:

$[\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)= B\cap (\overline{X}\cup B)=B$

az elnyelési tulajdonság miatt.