Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 1.

Halmazok

1. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket!
   1. $(A\cap B\cap C)\cup (A\cap B\cap \overline{C})\cup(A\cap \overline{B}\cap C)\cup(A\cap \overline{B}\cap \overline{C})=?$
   2. $(A\cap B)\cup C=?$, ha $A\subseteq C$.
2. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!
   1. $(A-X)\cup B=X\,$
   2. $A-X=X-A\,$

Megoldás.

1.1. Legyen D a feladatban szereplő halmaz és legyen U = A U B U C a komplementerképzés alaphalmaza! Emeljünk ki A-t!

$D=A\cap ((B\cap C)\cup (B\cap \overline{C})\cup(\overline{B}\cap C)\cup(\overline{B}\cap \overline{C}))=$

A második tényező első két tagjából kiemelhetünk B-t a második két tagjából B komplementert:

$=A\cap ((B\cap (C\cup \overline{C}))\cup(\overline{B}\cap (C\cup\overline{C})))=$

ekkor a halmaz és komplementere kiadja U-t, így:

$=A\cap ((B\cap U)\cup(\overline{B}\cap U))=A\cap (B\cup\overline{B})=A \cap U=A$

Tehát D = A.

Vagy Boole-algebrai formalizmusban:

$d=abc+a\overline{b}c+ab\overline{c}+a\overline{bc}=a(bc+\overline{b}c+b\overline{c}+\overline{bc})=a((b+\overline{b})c+(b+\overline{b})\overline{c})=$

$=a(1c+1\overline{c})=a(c+\overline{c})=a\cdot 1=a$

1.2.

$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)= C\cap (B \cup C)= C$

az elnyelési tulajdonság miatt és mert A ⊆ C pontosan azt jelenti, hogy A U C = C.

2.1. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:

$\begin{matrix} (A-X) \cup B & = & X \\ (A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\ ((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\ (A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\ (A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\ B\cap X & = & X \end{matrix}$

ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":

$[\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B$

amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig

$X=B\,$

Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis

$A\subseteq B\,$

De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:

$\quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B$

2.2.

$A-X=X-A\,$

vagyis

$A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,$

Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor

$A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,$

$A\cap\overline{X}=\emptyset$

azaz A ⊆ X, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért X ⊆ A is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.

Sík és egyenes

Van-e olyan sík, mely tartalmazza az

$e:\left\{ \begin{matrix} x=2+2t\\ y=1-t\\ z=1+3t \end{matrix} \right.$ illetve $f:\left\{ \begin{matrix} x=3+4t'\\ y=1-2t'\\ z=1+6t' \end{matrix}\right.$

egyeneseket?

Komplex számok

1. Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!

   $z^8-3z^4+4=0\,$

2. Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!

   $\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}$

Megoldás.

1. w = z⁴ új ismeretlennel:

$w^2-3w-4=0\,$

ami a megoldóképlet szerint:

$w_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=$

ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.

$=\frac{3\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right.$

Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:

$\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$ és $\,1$,

így

$z_{1234}=\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}\cdot i$

$z_{5678}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i,\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

2.

$\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}=\frac{1}{2^{10}}\left(i+1\right)^{20}=\left(\frac{i+1}{\sqrt{2}}\right)^{20}=$

$\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=$

$=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1$

Sorozatok

1. Igazak-e a következő kijelentések?
   1. Ha egy sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens.
   2. Ha egy sorozat monoton és van konvergens részsorozata, akkor konvergens.
   3. Ha egy sorozat divergens, akkor az (1/n)-nel vett szorzata konvergens.
   4. Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor nincs konvergens részsorozata.
   5. Ha egy sorozat a + végtelenbe tart, akkor van a + végtelenhez tartó részsorozata.
   6. Ha egy konvergens sorozat minden tagja pozitív, akkor a határértéke is pozitív.
   7. Ha (a_n+1 $-\,$ a_n) nullsorozat, akkor (a_n) konvergens.
2. Mennyi?
   1. $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(3-\frac{2}{n})^n}{3^n}$
   2. $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^5-5^{n-5}}{5^n-5n}$
3. Konvergens-e?
   1. $\,a_n=n^n$ esetén $\frac{a_{n+1}}{a_n}$
   2. $\,a_n=2^n+n^2$ esetén $\sqrt{a_n}$

Függvényvizsgálat

Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőérték szempontjából.

$f(x)=\frac{1}{x^2+e^{\frac{1}{x}}}\,$

b)

$f'(x)=\frac{-2x+e^{\frac{1}{x}}\frac{1}{x^2}}{(x^2+e^{\frac{1}{x}})^2}$

zh: hány megoldása van az

$2x^3=e^{\frac{1}{x}}\,$

egyenletnek? x pozitív,

$g(x)=2x^3-e^{\frac{1}{x}}$

deriváltja pozitív, tehát szig. mon nő, azaz legfeljebb csak egy megoldás van. Bolzano-tételből köv., hogy van megoldás. Legyen ez x_M. Előjele: előtte +, utána -. Negatívokra +.