Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 2.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Algebrai alak)
(→Komplex számok)
37. sor: 37. sor:
 
de a második egyenletből ''b'' > 0, így  
 
de a második egyenletből ''b'' > 0, így  
 
:<math>z=-1+\sqrt{3}i\,</math>
 
:<math>z=-1+\sqrt{3}i\,</math>
 +
 +
'''3.''' Mely komplex számok tesznek eleget az alábbi egyenletnek?
 +
:<math>z\overline{z}=z^3,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?</math>
 +
 +
''Mo.'' ''z'' = 0 megoldás. Ha ''z'' nem nulla, akkor
 +
:<math>\overline{z}=z^2</math>
 +
''z'' = ''a'' + ''b'' i-vel:
 +
:<math>a-bi=a^2+2abi-b^2\,</math>
 +
 +
:<math>-b=2ab\,</math>
 +
:<math>a=a^2-b^2\,</math>
 +
 +
Innen ''a'' = -1/2,
 +
:<math>-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-b^2\,</math>
 +
:<math>b^2=\frac{3}{4}\,</math>
 +
:<math>b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\,</math>
 +
===Trigonomertikus alak===
 +
'''4.''' Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
 +
:<math>z^4=-z,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?</math>
 +
 +
''Mo.''

A lap 2009. október 13., 09:39-kori változata

Komplex számok

Algebrai alak

1. Oldja meg a komplex számok körében az alábbi egyenletet!

\sqrt{2}\frac{|z|}{z}=1-i,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo. Világos, hogy a z = 0-t kizárhatjuk.

Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i

\sqrt{2}\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a+bi}=1-i
\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=(1-i)(a+bi)
\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=a+bi+b-ai

Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlők.

1. \sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=a+b
2. 0=b-a\,

azaz a = b és

2(a^2+a^2)=(a+a)^2\,
4a^2=4a^2\;
a\in \mathbf{R}, b=a\ne 0

2. Mely komplex számok tesznek egyszerre eleget az alábbi egyenleteknek?

z+\overline{z}=-2,
|z|z=2\sqrt{3}i-2,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo. Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i

a+bi+a-bi=-2\,
\sqrt{a^2+b^2}(a+bi)=2\sqrt{3}i-2\,
a=-1\,
-\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+b^2}bi=2\sqrt{3}i-2\,
-\sqrt{1+b^2}=-2\,
1+b^2=4\,
b=\pm\sqrt{3}\,

de a második egyenletből b > 0, így

z=-1+\sqrt{3}i\,

3. Mely komplex számok tesznek eleget az alábbi egyenletnek?

z\overline{z}=z^3,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor

\overline{z}=z^2

z = a + b i-vel:

a-bi=a^2+2abi-b^2\,
-b=2ab\,
a=a^2-b^2\,

Innen a = -1/2,

-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-b^2\,
b^2=\frac{3}{4}\,
b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\,

Trigonomertikus alak

4. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!

z^4=-z,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo.

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A1_feladatok_2.&oldid=5587”
Személyes eszközök