Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 2.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komplex számok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Trigonomertikus alak) |
||
56. sor: | 56. sor: | ||
'''4.''' Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán! | '''4.''' Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán! | ||
:<math>z^4=-z,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?</math> | :<math>z^4=-z,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' ''z'' = 0 megoldás. Ha ''z'' nem nulla, akkor | ||
+ | :<math>z^3=-1\,</math> | ||
+ | |||
+ | Egyrészt ''z'' = -1, másrészt egységhosszúságú komplex számok a megoldások, hisz | ||
+ | :<math>|z|^3=1\,</math> | ||
+ | |||
+ | Grafikusan: | ||
+ | :<math> | ||
+ | z=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán! | ||
+ | :<math>z^8-3z^4+4=0\,</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' ''w'' = ''z''<sup>4</sup> új ismeretlennel: | ||
+ | |||
+ | :<math>w^2-3w-4=0\,</math> | ||
+ | ami a megoldóképlet szerint: | ||
+ | :<math>w_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=</math> | ||
+ | ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni. | ||
+ | :<math>=\frac{3\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek: | ||
+ | :<math>\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}</math> és <math>\,1</math>, | ||
+ | így | ||
+ | :<math>z_{1234}=\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}\cdot i</math> | ||
+ | :<math>z_{5678}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i,\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i</math> | ||
+ | |||
+ | '''6.''' Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban! | ||
+ | :<math>\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}</math> | ||
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}=\frac{1}{2^{10}}\left(i+1\right)^{20}=\left(\frac{i+1}{\sqrt{2}}\right)^{20}=</math> | ||
+ | :<math>\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=</math> | ||
+ | :<math>=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1</math> |
A lap 2009. október 13., 09:47-kori változata
Komplex számok
Algebrai alak
1. Oldja meg a komplex számok körében az alábbi egyenletet!
Mo. Világos, hogy a z = 0-t kizárhatjuk.
Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i
Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlők.
- 1.
- 2.
azaz a = b és
- ,
2. Mely komplex számok tesznek egyszerre eleget az alábbi egyenleteknek?
Mo. Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i
de a második egyenletből b > 0, így
3. Mely komplex számok tesznek eleget az alábbi egyenletnek?
Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor
z = a + b i-vel:
Innen a = -1/2,
Trigonomertikus alak
4. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor
Egyrészt z = -1, másrészt egységhosszúságú komplex számok a megoldások, hisz
Grafikusan:
5. Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
Mo. w = z4 új ismeretlennel:
ami a megoldóképlet szerint:
ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.
Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:
- és ,
így
6. Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!
Mo.