Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 2.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Trigonomertikus alak) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Trigonomertikus alak) |
||
90. sor: | 90. sor: | ||
:<math>\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=</math> | :<math>\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=</math> | ||
:<math>=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1</math> | :<math>=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1</math> | ||
+ | |||
+ | ==Vektoralgebra== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Igazoljuk, hogy a deltoid szimmetriatengelye merőlegesen felezi a másik átlót! | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Igazoljuk, hogy a derékszögű háromszög derékszögű csúcsát tükrözve a háromszög Thalész-körén lesz. | ||
+ | |||
+ | Legyen a ABC a háromszög, C-nél a derékszög, '''b''' = ''A''-ból ''B''-be mutató, '''c''' = ''A''-ból ''C''-be mutató vektor. Nyilván: | ||
+ | :<math>\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=0\,</math> | ||
+ | A ''C''-ből az ''AB'' oldalra mutató magasságszakasz vektora '''m'''. Ekkor valamely λ skalárral: | ||
+ | :<math> | ||
+ | \mathbf{c}+\mathbf{m}=\lambda.\mathbf{b}</math> | ||
+ | Azt kell megmutatni, hogy | ||
+ | :<math>|\lambda.\mathbf{b}+\mathbf{m}-\frac{\mathbf{b}}{2}|=|\frac{\mathbf{b}}{2}|</math> |
A lap 2009. október 13., 09:57-kori változata
Tartalomjegyzék |
Komplex számok
Algebrai alak
1. Oldja meg a komplex számok körében az alábbi egyenletet!
Mo. Világos, hogy a z = 0-t kizárhatjuk.
Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i
Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlők.
- 1.
- 2.
azaz a = b és
- ,
2. Mely komplex számok tesznek egyszerre eleget az alábbi egyenleteknek?
Mo. Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i
de a második egyenletből b > 0, így
3. Mely komplex számok tesznek eleget az alábbi egyenletnek?
Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor
z = a + b i-vel:
Innen a = -1/2,
Trigonomertikus alak
4. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor
Egyrészt z = -1, másrészt egységhosszúságú komplex számok a megoldások, hisz
Grafikusan:
5. Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!
Mo. w = z4 új ismeretlennel:
ami a megoldóképlet szerint:
ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.
Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:
- és ,
így
6. Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!
Mo.
Vektoralgebra
1. Igazoljuk, hogy a deltoid szimmetriatengelye merőlegesen felezi a másik átlót!
2. Igazoljuk, hogy a derékszögű háromszög derékszögű csúcsát tükrözve a háromszög Thalész-körén lesz.
Legyen a ABC a háromszög, C-nél a derékszög, b = A-ból B-be mutató, c = A-ból C-be mutató vektor. Nyilván:
A C-ből az AB oldalra mutató magasságszakasz vektora m. Ekkor valamely λ skalárral:
Azt kell megmutatni, hogy