Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 2.

Komplex számok

Algebrai alak

1. Oldja meg a komplex számok körében az alábbi egyenletet!

$\sqrt{2}\frac{|z|}{z}=1-i,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?$

Mo. Világos, hogy a z = 0-t kizárhatjuk.

Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i

$\sqrt{2}\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a+bi}=1-i$

$\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=(1-i)(a+bi)$

$\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=a+bi+b-ai$

Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlők.

1. $\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=a+b$

2. $0=b-a\,$

azaz a = b és

$2(a^2+a^2)=(a+a)^2\,$

$4a^2=4a^2\;$

$a\in \mathbf{R}$, $b=a\ne 0$

2. Mely komplex számok tesznek egyszerre eleget az alábbi egyenleteknek?

$z+\overline{z}=-2,$

$|z|z=2\sqrt{3}i-2,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?$

Mo. Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i

$a+bi+a-bi=-2\,$

$\sqrt{a^2+b^2}(a+bi)=2\sqrt{3}i-2\,$

$a=-1\,$

$-\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+b^2}bi=2\sqrt{3}i-2\,$

$-\sqrt{1+b^2}=-2\,$

$1+b^2=4\,$

$b=\pm\sqrt{3}\,$

de a második egyenletből b > 0, így

$z=-1+\sqrt{3}i\,$

3. Mely komplex számok tesznek eleget az alábbi egyenletnek?

$z\overline{z}=z^3,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?$

Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor

$\overline{z}=z^2$

z = a + b i-vel:

$a-bi=a^2+2abi-b^2\,$

$-b=2ab\,$

$a=a^2-b^2\,$

Innen a = -1/2,

$-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-b^2\,$

$b^2=\frac{3}{4}\,$

$b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\,$

Trigonomertikus alak

4. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!

$z^4=-z,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?$

Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor

$z^3=-1\,$

Egyrészt z = -1, másrészt egységhosszúságú komplex számok a megoldások, hisz

$|z|^3=1\,$

Grafikusan:

$z=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$

5. Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!

$z^8-3z^4+4=0\,$

Mo. w = z⁴ új ismeretlennel:

$w^2-3w-4=0\,$

ami a megoldóképlet szerint:

$w_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=$

ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.

$=\frac{3\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right.$

Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:

$\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$ és $\,1$,

így

$z_{1234}=\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}\cdot i$

$z_{5678}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i,\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

6. Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!

$\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}$

Mo.

$\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}=\frac{1}{2^{10}}\left(i+1\right)^{20}=\left(\frac{i+1}{\sqrt{2}}\right)^{20}=$

$\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=$

$=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1$

Vektoralgebra

6. Igazoljuk, hogy a derékszögű háromszög derékszögű csúcsát tükrözve a háromszög Thalész-körén lesz.

Mo. A Thalész-kör középpontjából rendere mutassanak a csúcsokba az a, b, c vektorok. Persze a = -b és |a| = |b| = |c| = R.

$(\lambda \mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot \mathbf{a}=0$

$\lambda \mathbf{a}^2-\mathbf{ac}=0$

$\lambda=\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}$

Kell:

$(\lambda.\mathbf{a}+\lambda.\mathbf{a}-\mathbf{c})^2=R^2$

$(\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}+\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}-\mathbf{c})^2=(2\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}-\mathbf{c})^2=4\frac{(\mathbf{ac})^2}{\mathbf{a}^4}\mathbf{a}^2-4\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}\mathbf{c}+\mathbf{c}^2=$

$=|\mathbf{c}|^2=R^2$

Halmazok

7. $((A\cap B)\cup D)\cap C=?$, ha $A\subseteq C\subseteq D$.

Mo. $((A\cap B)\cup D)\cap C=(A\cap B\cap C)\cup (D\cap C)=(A\cap B)\cup C=C$,

8. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!

$(A-X)\cup B=X\,$

Mo. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:

$\begin{matrix} (A-X) \cup B & = & X \\ (A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\ ((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\ (A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\ (A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\ B\cap X & = & X \end{matrix}$

ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy X ⊆ B. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":

$[\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B$

amiből következik, hogy B ⊆ X és A ⊆ X. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig

$X=B\,$

Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor A ⊆ X = B, vagyis

$A\subseteq B\,$

De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:

$\quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B$

9. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!

$A-X=X-A\,$

Mo.

$A-X=X-A\,$

vagyis

$A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,$

Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor

$A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,$

$A\cap\overline{X}=\emptyset$

azaz A ⊆ X, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért X ⊆ A is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.