Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 2.

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. október 13., 09:42-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

Tartalomjegyzék

Komplex számok

Algebrai alak

1. Oldja meg a komplex számok körében az alábbi egyenletet!

\sqrt{2}\frac{|z|}{z}=1-i,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo. Világos, hogy a z = 0-t kizárhatjuk.

Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i

\sqrt{2}\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a+bi}=1-i
\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=(1-i)(a+bi)
\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=a+bi+b-ai

Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlők.

1. \sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}=a+b
2. 0=b-a\,

azaz a = b és

2(a^2+a^2)=(a+a)^2\,
4a^2=4a^2\;
a\in \mathbf{R}, b=a\ne 0

2. Mely komplex számok tesznek egyszerre eleget az alábbi egyenleteknek?

z+\overline{z}=-2,
|z|z=2\sqrt{3}i-2,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo. Írjuk fel az ismeretlent algebrai alakban: z = a + b i

a+bi+a-bi=-2\,
\sqrt{a^2+b^2}(a+bi)=2\sqrt{3}i-2\,
a=-1\,
-\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+b^2}bi=2\sqrt{3}i-2\,
-\sqrt{1+b^2}=-2\,
1+b^2=4\,
b=\pm\sqrt{3}\,

de a második egyenletből b > 0, így

z=-1+\sqrt{3}i\,

3. Mely komplex számok tesznek eleget az alábbi egyenletnek?

z\overline{z}=z^3,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor

\overline{z}=z^2

z = a + b i-vel:

a-bi=a^2+2abi-b^2\,
-b=2ab\,
a=a^2-b^2\,

Innen a = -1/2,

-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-b^2\,
b^2=\frac{3}{4}\,
b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\,

Trigonomertikus alak

4. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!

z^4=-z,\quad\quad\mathbf{C}\ni z=?

Mo. z = 0 megoldás. Ha z nem nulla, akkor

z^3=-1\,

Egyrészt z = -1, másrészt egységhosszúságú komplex számok a megoldások, hisz

|z|^3=1\,

Grafikusan:


z=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i

5. Oldja meg az alábbi egyenletet a komplex számok halmazán!

z^8-3z^4+4=0\,

Mo. w = z4 új ismeretlennel:

w^2-3w-4=0\,

ami a megoldóképlet szerint:

w_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=

ahol a négyzetgyököt a komplex kétértékű értelemben kell venni.

=\frac{3\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right.

Ezeknek könnyű előállítani a negyedik gyökeiket. Az abszolút értékek:

\sqrt[4]{4}=\sqrt{2} és \,1,

így

z_{1234}=\pm\sqrt{2},\pm\sqrt{2}\cdot i
z_{5678}=\frac{\sqrt{2}}{2}\pm\frac{\sqrt{2}}{2}i,\pm\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i

6. Adja meg a következő kifejezés értékét algebrai alakban!

\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}

Mo.

\frac{1}{2^{10}}\left(\frac{1}{i^5}+i^{2008}\right)^{20}=\frac{1}{2^{10}}\left(i+1\right)^{20}=\left(\frac{i+1}{\sqrt{2}}\right)^{20}=
\,=(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))^{20}=\cos(5\pi)+i\sin(5\pi)=
=\,\cos(\pi)+i\sin(\pi)=-1

Vektoralgebra

6. Igazoljuk, hogy a derékszögű háromszög derékszögű csúcsát tükrözve a háromszög Thalész-körén lesz.

Mo. A Thalész-kör középpontjából rendere mutassanak a csúcsokba az a, b, c vektorok. Persze a = -b és |a| = |b| = |c| = R.

(\lambda \mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot \mathbf{a}=0
\lambda \mathbf{a}^2-\mathbf{ac}=0
\lambda=\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}

Kell:

(\lambda.\mathbf{a}+\lambda.\mathbf{a}-\mathbf{c})^2=R^2
(\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}+\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}-\mathbf{c})^2=(2\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}-\mathbf{c})^2=4\frac{(\mathbf{ac})^2}{\mathbf{a}^4}\mathbf{a}^2-4\frac{\mathbf{ac}}{\mathbf{a}^2}.\mathbf{a}\mathbf{c}+\mathbf{c}^2=
=|\mathbf{c}|^2=R^2

Halmazok

7. ((A\cap B)\cup D)\cap C=?, ha A\subseteq C\subseteq D.

Mo. ((A\cap B)\cup D)\cap C=(A\cap B\cap C)\cup (D\cap C)=(A\cap B)\cup C=C,

8. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!

 (A-X)\cup B=X\,

Mo. Legyen a komplementerképzés univerzuma U. Tegyük fel, hogy van megoldás. Eltünik az X komplementer a bal oldalról, ha mindkét oldalt elmetszük X-szel:

\begin{matrix}
(A-X) \cup B & = & X \\
(A\cap \overline{X}) \cup B & = & X \\
((A\cap \overline{X}) \cup B)\cap X & = & X \cap X\\
(A\cap \overline{X}\cap X) \cup (B\cap X) & = & X \\
(A\cap \emptyset) \cup (B\cap X) & = & X \\
B\cap X & = & X 
\end{matrix}

ez utóbbi pontosan azt jelenti, hogy XB. Emellett a feltétel mellett B-vel a baloldalon "beuniózva":

 [\;X =\; ]\quad\quad(A\cap \overline{X}) \cup B =(A\cup B)\cap (\overline{X}\cup B)\supseteq (A\cup B)\cap (\overline{X}\cup X)=(A\cup B)\cap U =A\cup B

amiből következik, hogy BX és AX. Ez azt jelenti, hogy ha van megoldás, akkor az egyértelmű éspedig

X=B\,

Most vizsgáljuk meg a megoldhatóság feltételét. Azt kaptuk, hogy ha van megoldás, akkor AX = B, vagyis

A\subseteq B\,

De ez elégséges feltétele is a megoldhatóságnak, ugyanis ekkor az X = B helyettesítés kielégíti az egyenletet:

 \quad\quad(A\cap \overline{B}) \cup B =\emptyset \cup B=B

9. Oldja meg az alábbi halmazegyenleteket, X-re!

A-X=X-A\,

Mo.

A-X=X-A\,

vagyis

A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\,

Ha van megoldás és bemetszünk mindkét oldalon A-val, akkor

A\cap A\cap\overline{X}=X\cap \overline{A}\cap A\,
A\cap\overline{X}=\emptyset

azaz AX, de az egyenlet szimmetrikus az A és az X felcserélésére, ezért XA is teljesül, amiből X = A, ha van megoldás. Márpedig az egyenletet az X = A kielégíti.

Személyes eszközök