Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 3.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
:<math>=\frac{1}{n}\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}+1}\to 0\cdot 0\cdot \frac{1}{2}=0</math> | :<math>=\frac{1}{n}\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}+1}\to 0\cdot 0\cdot \frac{1}{2}=0</math> | ||
− | '''2.''' | + | '''2.''' Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét! |
+ | |||
+ | '''2.1.''' <math>\sqrt[n]{n^2+2n+4}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\sqrt[n]{n^2+2n+4}\leq\sqrt[n]{n^2+2n^2+4n^2}=\sqrt[n]{7n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\sqrt[n]{n^2}=</math> | ||
+ | :<math>=\sqrt[n]{7}\cdot\left(\sqrt[n]{n}\right)^2\to 1</math> | ||
+ | :<math>\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.2.''' <math>\sqrt[n^4]{n^3-3n}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\sqrt[n^4]{n^3-3n}\leq\sqrt[n^4]{n^3}=\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)\,^{\frac{3}{4}}\to 1</math> | ||
+ | Itt <math>\scriptstyle{\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)}</math> az <math>\scriptstyle{\left(\sqrt[n]{n}\right)}</math> sorozat <math>\scriptstyle{n_k=k^4}</math> indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart. | ||
+ | :<math>\sqrt[n^4]{n^3-3n}\geq\sqrt[n^4]{n^3-\cfrac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt[n^4]{n^3}\to 1\cdot 1=1</math> | ||
+ | Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük? | ||
+ | |||
+ | '''3.1.''' <math>\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math> | ||
+ | \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} } | ||
+ | </math> | ||
+ | itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat ''n''<sub>''k''</sub> = ''k''<sup>2</sup> indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel: | ||
+ | :<math> | ||
+ | 1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | '''3.2.'''<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math> | ||
+ | \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n | ||
+ | </math> | ||
+ | itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ''ε'' = (e–2)-höz) létezik ''N'', hogy minden ''n'' > ''N''-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél. | ||
+ | :<math> | ||
+ | +\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n | ||
+ | </math> | ||
+ | Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3.3.''' <math>\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math> | ||
+ | \left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2} }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to \frac{e^{-7}}{+\infty} 0 | ||
+ | |||
+ | </math> | ||
+ | A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló. |
A lap 2009. október 20., 10:15-kori változata
1. Konvergens-e és ha igen mi a hatrárértéke az alábbi sorozatoknak:
1.1
Mo.
1.2
Mo.
1.3
Mo.
2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
2.1.
Mo.
2.2.
Mo.
Itt az sorozat indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.
Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.
3. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
3.1.
Mo.
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
3.2.
Mo.
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.
3.3.
Mo.
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.