Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 3.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
67. sor: | 67. sor: | ||
''Mo.'' | ''Mo.'' | ||
:<math> | :<math> | ||
− | \left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2} }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to \frac{e^{-7}}{+\infty} 0 | + | \left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2} }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to \frac{e^{-7}}{+\infty}= 0 |
</math> | </math> | ||
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló. | A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló. | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Legyen ''q'' ∈ [0,1) Melyikből következik melyik tetszőleges <math>(a_n)</math> sorozatra? | ||
+ | |||
+ | :a) <math>\exists \lim\limits_{n\to \infty}|a_n|\leq q</math> | ||
+ | :b) <math>\limsup\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\leq q</math> | ||
+ | |||
+ | '''5.''' Melyikből következik melyik tetszőleges <math>(a_n)</math> pozitív sorozatra? | ||
+ | |||
+ | :a) <math>a_{n+1}-a_n\to 0</math> | ||
+ | :b) <math>\exists\lim(a_n)<\infty</math> |
A lap jelenlegi, 2009. október 20., 10:35-kori változata
1. Konvergens-e és ha igen mi a hatrárértéke az alábbi sorozatoknak:
1.1
Mo.
1.2
Mo.
1.3
Mo.
2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
2.1.
Mo.
2.2.
Mo.
Itt az sorozat indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.
Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.
3. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
3.1.
Mo.
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
3.2.
Mo.
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.
3.3.
Mo.
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
4. Legyen q ∈ [0,1) Melyikből következik melyik tetszőleges (an) sorozatra?
- a)
- b)
5. Melyikből következik melyik tetszőleges (an) pozitív sorozatra?
- a)
- b)