Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 3.

1. Konvergens-e és ha igen mi a hatrárértéke az alábbi sorozatoknak:

1.1 $(n^2-\sqrt{n^4-n^2})$

Mo.

$n^2-\sqrt{n^4-n^2}=\frac{(n^2-\sqrt{n^4-n^2})(n^2+\sqrt{n^4-n^2}=)}{n^2+\sqrt{n^4-n^2}}=$

$=\frac{(n^4-(n^4-n^2)}{n^2+\sqrt{n^4-n^2}}=\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n^4-n^2}}=\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}\to \frac{1}{2}$

1.2 $(n^3-\sqrt{n^6+n^5})$

Mo.

$n^3-\sqrt{n^6+n^5}=\frac{n^6-n^6-n^5}{n^3+\sqrt{n^6+n^5}}=\frac{-n^5}{n^3+\sqrt{n^6+n^5}}=$

$=-n^2\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\to -\infty\cdot\frac{1}{2}=-\infty$

1.3 $\left(\sqrt{n+\frac{1}{n}}-\sqrt{n}\right)$

Mo.

$=\frac{n+\frac{1}{n}-n}{ \sqrt{n+\frac{1}{n}}+\sqrt{n} }=\frac{1}{n}\frac{1}{ \sqrt{n+\frac{1}{n}}+\sqrt{n} }=$

$=\frac{1}{n}\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}+1}\to 0\cdot 0\cdot \frac{1}{2}=0$

2.