Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 3.

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2009. október 20., 09:35-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

1. Konvergens-e és ha igen mi a hatrárértéke az alábbi sorozatoknak:

1.1 (n^2-\sqrt{n^4-n^2})

Mo.

n^2-\sqrt{n^4-n^2}=\frac{(n^2-\sqrt{n^4-n^2})(n^2+\sqrt{n^4-n^2}=)}{n^2+\sqrt{n^4-n^2}}=
=\frac{(n^4-(n^4-n^2)}{n^2+\sqrt{n^4-n^2}}=\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n^4-n^2}}=\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}\to \frac{1}{2}

1.2 (n^3-\sqrt{n^6+n^5})

Mo.

n^3-\sqrt{n^6+n^5}=\frac{n^6-n^6-n^5}{n^3+\sqrt{n^6+n^5}}=\frac{-n^5}{n^3+\sqrt{n^6+n^5}}=

=-n^2\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\to -\infty\cdot\frac{1}{2}=-\infty


1.3 \left(\sqrt{n+\frac{1}{n}}-\sqrt{n}\right)

Mo.

=\frac{n+\frac{1}{n}-n}{   \sqrt{n+\frac{1}{n}}+\sqrt{n}   }=\frac{1}{n}\frac{1}{   \sqrt{n+\frac{1}{n}}+\sqrt{n}   }=
=\frac{1}{n}\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}}+1}\to 0\cdot 0\cdot \frac{1}{2}=0

2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!

2.1. \sqrt[n]{n^2+2n+4}

Mo.

\sqrt[n]{n^2+2n+4}\leq\sqrt[n]{n^2+2n^2+4n^2}=\sqrt[n]{7n^2}=\sqrt[n]{7}\cdot\sqrt[n]{n^2}=
=\sqrt[n]{7}\cdot\left(\sqrt[n]{n}\right)^2\to 1
\sqrt[n]{n^2+2n+4}\geq\sqrt[n]{4}\to 1

2.2. \sqrt[n^4]{n^3-3n}

Mo.

\sqrt[n^4]{n^3-3n}\leq\sqrt[n^4]{n^3}=\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)\,^{\frac{3}{4}}\to 1

Itt \scriptstyle{\left(\sqrt[n^4]{n^4}\right)} az \scriptstyle{\left(\sqrt[n]{n}\right)} sorozat \scriptstyle{n_k=k^4} indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.

\sqrt[n^4]{n^3-3n}\geq\sqrt[n^4]{n^3-\cfrac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{n^3}{2}}=\sqrt[n^4]{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt[n^4]{n^3}\to 1\cdot 1=1

Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.

3. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?

3.1. \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}

Mo.


\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:


1\leftarrow\sqrt[n]{1}\leq\sqrt[n]{ \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2} }\leq\sqrt[n]{4}\to 1

3.2.\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}

Mo.


\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.


+\infty\leftarrow 2^n\leq\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^n

Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.


3.3. \left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}

Mo.


\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{  \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2}  }\right)^{n^2}=\frac{\left(1+ \cfrac{-7}{n^2} \right)^{n^2}}{\left(1+ \cfrac{2}{n}\right)^{n^2}}\to \frac{e^{-7}}{+\infty}= 0

A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.

4. Legyen q ∈ [0,1) Melyikből következik melyik tetszőleges (an) sorozatra?

a) \exists \lim\limits_{n\to \infty}|a_n|\leq q
b) \limsup\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)\leq q

5. Melyikből következik melyik tetszőleges (an) pozitív sorozatra?

a) a_{n+1}-a_n\to  0
b) \exists\lim(a_n)<\infty
Személyes eszközök