Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 3.
1. Konvergens-e és ha igen mi a hatrárértéke az alábbi sorozatoknak:
1.1
Mo.
1.2
Mo.
1.3
Mo.
2. Konvergens-e az alábbi sorozat és ha igen, adjuk meg a határértékét!
2.1.
Mo.
2.2.
Mo.
Itt az sorozat indexsorozattal képezett részsorozata, így az 1-hez tart.
Ahol felhasználtuk, az előző egyenlőtlenség végén kiszámolt határértéket.
3. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha van, mi a határértékük?
3.1.
Mo.
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart mert a nevezetes sorozat nk = k2 indexsorozattal adott részsorozata. Tudjuk, hogy a gyök alatti sorozatnak a 4 felső korlátjam így a rendőrelvvel:
3.2.
Mo.
itt a gyök alatti sorozat az e-hez tart emiatt egy indextől kezdve egy 1-nél nagyobb konstanssal alulbecsülhető. Ugyanis 2-höz (pontosabban az ε = (e–2)-höz) létezik N, hogy minden n > N-re a sorozat tagjai nagyobbak 2-nél.
Tehát ez a sorozat nem konvergens, de a +∞-hez tart.
3.3.
Mo.
A határértékek indoklása az előző feladat megoldásában lévőhöz hasonló.
4. Legyen q ∈ [0,1) Melyikből következik melyik tetszőleges (an) sorozatra?
- a)
- b)
5. Melyikből következik melyik tetszőleges (an) pozitív sorozatra?
- a)
- b)