Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 4.
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Differenciálhatóság) |
||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | ==Határozatlan esetek== | ||
+ | ===1<sup>∞</sup>=== | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | : <math>\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=?</math> | ||
+ | |||
+ | :<math> | ||
+ | \left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{ \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2} }\right)^{n^2}</math> | ||
+ | ===∞<sup>0</sup>=== | ||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>\frac{1+\sqrt[n]{4^n+3n^2}}{3-\sqrt[n^2]{n^3+2n}}</math> | ||
+ | ===Vegyes=== | ||
+ | '''3.''' | ||
+ | :<math>\frac{\sin\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}{\sqrt[n]{n}}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{\sin\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{n}\frac{\sin\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}{\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}\frac{\sqrt[n]{n+1}}{\sqrt[n]{n}}= | ||
+ | </math> | ||
+ | '''4.''' | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to ,-\infty+\infty}\frac{\sin(x)\cdot \mathrm{sh}(x)}{e^{2x}}=?</math> | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' | ||
+ | :<math>\frac{\sin(x)\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}}{e^{2x}}=\frac{\sin(x)\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}}{e^{2x}}=\frac{1}{2}\sin(x)(e^{-x}-e^{-3x})=</math> | ||
+ | ::<math>=\frac{1}{2}\sin(x)e^{-x}(1-e^{-2x})</math> | ||
+ | Egyfelől | ||
+ | :<math>|f(x)|\leq \frac{1}{2}e^{-x}\to 0</math>, ha <math>x\to +\infty\,</math> | ||
+ | Másfelől ha | ||
+ | :<math>x_k=\frac{\pi}{2}-k2\pi</math> | ||
+ | akkor | ||
+ | :<math>f(x_k)=-\frac{1}{2}e^{-3x_k}(1-e^{4x_k})\geq-\frac{1}{2}e^{-3x_k}\to -\infty</math> | ||
+ | miközben | ||
+ | :<math>f(k\pi)\equiv 0\to 0</math> | ||
+ | tehát nincs határértéke a -∞-ben. | ||
+ | |||
+ | '''5.''' | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}</math> | ||
+ | ::(<math>\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=1</math>) | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}^2\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}(1+\mathrm{sh}^2\,x)}{\mathrm{sh}\,x}</math> | ||
+ | |||
+ | '''6.''' | ||
+ | :<math> | ||
+ | f(x)=\frac{e^\frac{1}{x}}{1-e^{1-x}}</math> | ||
+ | |||
+ | '''7.''' | ||
+ | :<math>f(x)=\mathrm{arctg}\,e^{\frac{1}{x}}</math> | ||
+ | |||
==Differenciálhatóság== | ==Differenciálhatóság== | ||
Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' ∈ Dom(''f'')∩Dom(''f'')'. Az ''f'' függvény differenciálható az ''u'' pontban, ha | Legyen ''f'' valós-valós függvény, ''u'' ∈ Dom(''f'')∩Dom(''f'')'. Az ''f'' függvény differenciálható az ''u'' pontban, ha | ||
41. sor: | 85. sor: | ||
\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}</math> | \frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}</math> | ||
Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4. | Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4. | ||
+ | |||
+ | ==L'Hospital-szabályok== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek ''f'' és ''g'': ''A'' <math>\to</math> '''R''' valós-valós függvények, ''u'' ∈ ''A'' ∩ ''A'' ', ''f''(u)=''g''(u)=0, mindkettő differenciálható ''u''-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a lim<sub>u</sub>(''f''/''g''), és | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}</math> | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,''' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az ''u''-hoz olyan ε, η: ''A'' <math>\to</math> '''R''', hogy minden ''x'' ∈ ''A'' ∩ Dom(''f''/''g'')-ra | ||
+ | :<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}</math> | ||
+ | és ∃lim<sub>u</sub>ε=ε(u)=0, ∃lim<sub>u</sub>η=η(u)=0. Emiatt és ''f''(u)=''g''(u)=0 miatt | ||
+ | :<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}</math> | ||
+ | Aminek a határéttéke, ha ''x'' tart ''u''-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget. |
A lap jelenlegi, 2009. november 10., 12:15-kori változata
Tartalomjegyzék |
Határozatlan esetek
1∞
1.
∞0
2.
Vegyes
3.
4.
Mo.
Egyfelől
- , ha
Másfelől ha
akkor
miközben
tehát nincs határértéke a -∞-ben.
5.
-
- (ch2 − sh2 = 1)
6.
7.
Differenciálhatóság
Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha
1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) R függvény és olyan m ∈ R szám, hogy:
- minden x ∈ Dom(f)-re
- f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
- ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.
Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)
2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:
Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.
A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:
ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.
Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,
Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnű tag összegeként:
- , a lineáris és a nemlineáris
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.
Példa. Igazoljuk, hogy
differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.
Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor
Ha most x 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.
L'Hospital-szabályok
Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és
Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra
és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt
Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.