Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 4.

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo(Változatok közti eltérés)
(Vegyes)
(Differenciálhatóság)
 
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva)
35. sor: 35. sor:
 
::(<math>\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=1</math>)
 
::(<math>\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=1</math>)
 
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}^2\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}(1+\mathrm{sh}^2\,x)}{\mathrm{sh}\,x}</math>
 
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}^2\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}(1+\mathrm{sh}^2\,x)}{\mathrm{sh}\,x}</math>
 +
 +
'''6.'''
 +
:<math>
 +
f(x)=\frac{e^\frac{1}{x}}{1-e^{1-x}}</math>
 +
 +
'''7.'''
 +
:<math>f(x)=\mathrm{arctg}\,e^{\frac{1}{x}}</math>
  
 
==Differenciálhatóság==
 
==Differenciálhatóság==
78. sor: 85. sor:
 
\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}</math>
 
\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}</math>
 
Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.
 
Ha most ''x'' <math>\to</math> 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.
 +
 +
==L'Hospital-szabályok==
 +
 +
'''Tétel'''  -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek ''f'' és ''g'': ''A'' <math>\to</math> '''R''' valós-valós függvények, ''u'' &isin; ''A'' &cap; ''A'' ', ''f''(u)=''g''(u)=0, mindkettő differenciálható ''u''-ban és g'(u) &ne; 0. Ekkor létezik a lim<sub>u</sub>(''f''/''g''), és
 +
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}</math>
 +
 +
''Ugyanis,''' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az ''u''-hoz olyan &epsilon;, &eta;: ''A'' <math>\to</math> '''R''', hogy minden ''x'' &isin; ''A'' &cap; Dom(''f''/''g'')-ra
 +
:<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}</math>
 +
és &exist;lim<sub>u</sub>&epsilon;=&epsilon;(u)=0,  &exist;lim<sub>u</sub>&eta;=&eta;(u)=0. Emiatt és ''f''(u)=''g''(u)=0 miatt
 +
:<math>\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}</math>
 +
Aminek a határéttéke, ha ''x'' tart ''u''-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + &eta; nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |&eta;| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.

A lap jelenlegi, 2009. november 10., 11:15-kori változata

Tartalomjegyzék

Határozatlan esetek

1

1.

\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=?

\left(\frac{n^2-7}{n^2+2n}\right)^{n^2}=\left(\frac{  \cfrac{n^2-7}{n^2}}{\cfrac{n^2+2n}{n^2}  }\right)^{n^2}

0

2.

\frac{1+\sqrt[n]{4^n+3n^2}}{3-\sqrt[n^2]{n^3+2n}}

Vegyes

3.

\frac{\sin\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}{\sqrt[n]{n}}
\frac{\sin\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{n}\frac{\sin\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}{\frac{\sqrt[n]{n+1}}{n}}\frac{\sqrt[n]{n+1}}{\sqrt[n]{n}}=

4.

\lim\limits_{x\to ,-\infty+\infty}\frac{\sin(x)\cdot \mathrm{sh}(x)}{e^{2x}}=?

Mo.

\frac{\sin(x)\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}}{e^{2x}}=\frac{\sin(x)\cdot \frac{e^x-e^{-x}}{2}}{e^{2x}}=\frac{1}{2}\sin(x)(e^{-x}-e^{-3x})=
=\frac{1}{2}\sin(x)e^{-x}(1-e^{-2x})

Egyfelől

|f(x)|\leq \frac{1}{2}e^{-x}\to 0, ha x\to +\infty\,

Másfelől ha

x_k=\frac{\pi}{2}-k2\pi

akkor

f(x_k)=-\frac{1}{2}e^{-3x_k}(1-e^{4x_k})\geq-\frac{1}{2}e^{-3x_k}\to -\infty

miközben

f(k\pi)\equiv 0\to 0

tehát nincs határértéke a -∞-ben.

5.

\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}
(ch2 − sh2 = 1)
\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}\,\mathrm{ch}^2\,x}{\mathrm{sh}\,x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{ln}(1+\mathrm{sh}^2\,x)}{\mathrm{sh}\,x}

6.


f(x)=\frac{e^\frac{1}{x}}{1-e^{1-x}}

7.

f(x)=\mathrm{arctg}\,e^{\frac{1}{x}}

Differenciálhatóság

Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha

1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) \to R függvény és olyan mR szám, hogy:

  1. minden x ∈ Dom(f)-re
    f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és
  2. ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.

Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)

2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\quad\quad(*)

Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.

A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:

\varepsilon(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x\ne u\\
\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x=u\end{matrix}\right.

ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és limx \to u (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.

Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,

Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnű tag összegeként:

\ell(x)=f(u)+m(x-u), a lineáris és \varepsilon(x)(x-u) a nemlineáris

Példa. Igazoljuk, hogy

f(x)=e^{\sin x}\,

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor


\frac{e^{\sin x}-e^{\sin 0}}{x-0}=\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\frac{x}{\sin x}

Ha most x \to 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.


Példa. Igazoljuk, hogy

f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x, & \mathrm{ha} & x\ne 0\\ 0, & \mathrm{ha} & x=0\end{matrix}\right.

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor


\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}

Ha most x \to 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.

L'Hospital-szabályok

Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A \to R valós-valós függvények, uAA ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}

Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A \to R, hogy minden xA ∩ Dom(f/g)-ra

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}

és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt

\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}

Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.

Személyes eszközök