Szerkesztő:Mozo/A1 feladatok 4.

Differenciálhatóság

Legyen f valós-valós függvény, u ∈ Dom(f)∩Dom(f)'. Az f függvény differenciálható az u pontban, ha

1. Definíció -- létezik olyan ε: Dom(f) $\to$ R függvény és olyan m ∈ R szám, hogy:

1. minden x ∈ Dom(f)-re

   f(x) = f(u) + m(x - u) + ε(x)(x - u) és

2. ε(u) = 0 és ε az u-ban folytonos.

Ebben az esetben az f függvény u-beli deriváltja m és jele f'(u)

2. Definíció -- létezik és véges a következő határérték:

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\quad\quad(*)$

Ekkor f'(u) maga a fenti határérték.

A két definíció ekvivalens, amit a következő egyenlőséggel lehet igazolni:

$\varepsilon(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x\ne u\\ \lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-A, & \mathrm{ha} & x=u\end{matrix}\right.$

ahol A az m-et jelöli, ha 1)-et tudjuk és 2)-t igazoljuk és lim_{x $\to$ u} (f(x)-f(u)/(x-u))-t, ha fordított a helyzet.

Világos, hogy a (*) határérték egy úgy nevezett határozatlan kifejezés, hisz mindig 0/0 alakú. Ez a a szelők meredekségének határértéke,

Az első definíció is szemléletes. Itt arról van szó, hogy a függvény felírható u körül egy lineárisan eltűnő és egy magasabb rendben eltűnű tag összegeként:

$\ell(x)=f(u)+m(x-u)$, a lineáris és $\varepsilon(x)(x-u)$ a nemlineáris

Példa. Igazoljuk, hogy

$f(x)=e^{\sin x}\,$

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor

$\frac{e^{\sin x}-e^{\sin 0}}{x-0}=\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\frac{x}{\sin x}$

Ha most x $\to$ 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tényező is az 1-hez tart, minthogy ezek nevezetes határértékek.

Példa. Igazoljuk, hogy

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x, & \mathrm{ha} & x\ne 0\\ 0, & \mathrm{ha} & x=0\end{matrix}\right.$

differenciálható a 0-ban és deriváltja 1/4.

Megoldás. Definíció szerint igazoljuk, azaz a pontbeli derivált (*) képletével. Legyen x≠0. Ekkor

$\frac{\frac{1-\cos x }{x}-\frac{1}{4}\sin x -0}{x-0}=\frac{1-\cos x}{x^2}-\frac{\frac{1}{4}\sin x}{x}$

Ha most x $\to$ 0, akkor az utolsó egyenlőség után az első tényező és a második tag, mint nevezetes határérték az 1/2-hez tart, míg a második tag az 1/4-hez. Emiatt a határérték 1/4.