Szerkesztő:Mozo/A2 feladatok
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Megoldás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Megoldás) |
||
29. sor: | 29. sor: | ||
0 & 0 & -3 \\ | 0 & 0 & -3 \\ | ||
0 & 3 & 0 | 0 & 3 & 0 | ||
− | \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | + | \end{pmatrix}=6\cdot\begin{pmatrix} |
− | + | 1 & 0 & 0 \\ | |
0 & 0 & 0 \\ | 0 & 0 & 0 \\ | ||
0 & 0 & 0 | 0 & 0 & 0 | ||
− | \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} | + | \end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} |
0 & 0 & 0 \\ | 0 & 0 & 0 \\ | ||
− | 0 & 0 & - | + | 0 & 0 & -1 \\ |
− | 0 & | + | 0 & 1 & 0 |
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
Megjegyezzük, hogy a leképezés lényegében egy x tengely körüli forgatás, majd a tengelyek menti nyújtás. A sajátvektorai: Ae<sup>2''x''</sup>, sajátértéke 6. | Megjegyezzük, hogy a leképezés lényegében egy x tengely körüli forgatás, majd a tengelyek menti nyújtás. A sajátvektorai: Ae<sup>2''x''</sup>, sajátértéke 6. |
A lap 2008. május 26., 22:28-kori változata
Függvényterek
1.
Legyen L az R-en értelmezett valós függvények következő lineáris altere:
(azaz az exp(2.), a sin(3.) és a cos(3.) függvények által kifeszített altér.) Adjuk meg L bázisát, igazoljuk, hogy
lineáris operátor és adjuk meg egy mátrixát!
Megoldás
boztosan generátorrendszere L-nek. Lássuk be, hogy B független. Tegyük fel ugyanis, hogy minden x valós számra
Ekkor x = 0-t véve:
illetve x = 2π-t véve is:
mely két egyenletet kivonva
azaz A = 0. Viszont ekkor C = 0-is teljesül és B csak nulla lehet, mert a szinuszfüggvény nem az azonosan nulla. Tehát a fenti egyenlőségnek csak triviális megoldása van A, B, C-ben.
Térjünk rá az operátor linearitására. A deriválás lineáris, a 4-gyel való szorzás lineáris és a leképezések összege lineáris, tehát A lineáris. Adjuk meg a mátrixot! A bázisok képei:
Így
Megjegyezzük, hogy a leképezés lényegében egy x tengely körüli forgatás, majd a tengelyek menti nyújtás. A sajátvektorai: Ae2x, sajátértéke 6.