Szerkesztő:Mozo/A2 feladatok
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→1.) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényterek) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | ==Gauss-elimináció-témakör== | ||
+ | ===Paraméteres egyenletrendszer=== | ||
+ | Milyen ''a'' valós paraméterre oldható meg az alábbi egyenletrendszer? | ||
+ | :<math>\begin{matrix} | ||
+ | x_1 + 2x_2 + 3x_3 & = & 2 \\ | ||
+ | x_1 + x_2 + x_3 & = & 2 \\ | ||
+ | 3x_1 + 3x_2 + ax_3 & = & 0 | ||
+ | \end{matrix}</math> | ||
+ | ====Megoldás==== | ||
+ | Az '''A'''(a)<math>\cdot</math>''x'' = ''b'' egyenletrendszer kibővített mátrixa és a [[Gauss-elimináció]] | ||
+ | :<math>[\mathbf{A}(a)|b]=\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 1 & 1 & 1 & 2 \\ | ||
+ | 3 & 3 & a & 0 | ||
+ | \end{bmatrix}\sim | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 0 & -1 & -2 & 0 \\ | ||
+ | 0 & -3 & a-9 & -6 | ||
+ | \end{bmatrix}\sim | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 0 & -1 & -2 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & a-3 & -6 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | Az egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha a [[mátrix rangja]] egyenlő a kibővített mátrix rangjával. Úgy is fogalmazhatunk, hogy ha az alsó sorban nem áll ellentmondás, azaz ''a'' - 3 = -6, azaz ''a'' = -3. | ||
==Függvényterek== | ==Függvényterek== | ||
A lap 2008. május 28., 19:52-kori változata
Tartalomjegyzék |
Gauss-elimináció-témakör
Paraméteres egyenletrendszer
Milyen a valós paraméterre oldható meg az alábbi egyenletrendszer?
Megoldás
Az A(a)x = b egyenletrendszer kibővített mátrixa és a Gauss-elimináció
Az egyenletrendszer akkor és csak akkor megoldható, ha a mátrix rangja egyenlő a kibővített mátrix rangjával. Úgy is fogalmazhatunk, hogy ha az alsó sorban nem áll ellentmondás, azaz a - 3 = -6, azaz a = -3.
Függvényterek
Példa
Legyen L az R-en értelmezett valós függvények következő lineáris altere:
(azaz az exp(2.), a sin(3.) és a cos(3.) függvények által kifeszített altér.) Adjuk meg L bázisát, igazoljuk, hogy
lineáris operátor és adjuk meg egy mátrixát!
Megoldás
boztosan generátorrendszere L-nek. Lássuk be, hogy B független. Tegyük fel ugyanis, hogy minden x valós számra
Ekkor x = 0-t véve:
illetve x = 2π-t véve is:
mely két egyenletet kivonva
azaz A = 0. Viszont ekkor C = 0-is teljesül és B csak nulla lehet, mert a szinuszfüggvény nem az azonosan nulla. Tehát a fenti egyenlőségnek csak triviális megoldása van A, B, C-ben.
Térjünk rá az operátor linearitására. A deriválás lineáris, a 4-gyel való szorzás lineáris és a leképezések összege lineáris, tehát A lineáris. Adjuk meg a mátrixot! A bázisok képei:
Így
Megjegyezzük, hogy a leképezés lényegében egy x tengely körüli forgatás, majd a tengelyek menti nyújtás. A sajátvektorai: Ae2x, sajátértéke 6.
Iterált határérték
Példa
Megoldás
Példa
Megoldás
Tehát g ≡ 0
Példa
Megoldás
Tehát g egyetlen pontból áll, éspedig a 0-nál 0. Ilyen (egypontú) függvények nincs határértéke:
Példa
Megoldás
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0: