Szerkesztő:Mozo/A2 feladatok
Függvényterek
1.
Legyen L az R-en értelmezett valós függvények következő lineáris altere:
(azaz az exp(2.), a sin(3.) és a cos(3.) függvények által kifeszített altér.) Adjuk meg L bázisát, igazoljuk, hogy
lineáris operátor és adjuk meg egy mátrixát!
Megoldás
boztosan generátorrendszere L-nek. Lássuk be, hogy B független. Tegyük fel ugyanis, hogy minden x valós számra
Ekkor x = 0-t véve:
illetve x = 2π-t véve is:
mely két egyenletet kivonva
azaz A = 0. Viszont ekkor C = 0-is teljesül és B csak nulla lehet, mert a szinuszfüggvény nem az azonosan nulla. Tehát a fenti egyenlőségnek csak triviális megoldása van A, B, C-ben.
Térjünk rá az operátor linearitására. A deriválás lineáris, a 4-gyel való szorzás lineáris és a leképezések összege lineáris, tehát A lineáris. Adjuk meg a mátrixot! A bázisok képei:
Így
Megjegyezzük, hogy a leképezés lényegében egy x tengely körüli forgatás, majd a tengelyek menti nyújtás. A sajátvektorai: Ae2x, sajátértéke 6.