Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 2
Tartalomjegyzék |
1. a.
Oldja meg az
egyenletrendszert!
Megoldás
Gauss-eliminációval:
Innen
- z = -1,
- 3y -5(-1) = 5, innen y = 0
- x = (-2)0 + (-3)(-1) -2 = 1
Megjegyzés. Az
mátrix rangja 3 és a kibővített mátrix rangja is ennyi, így az egyenletnek van megoldása (amiről persze maga a "megoldás" is tanúskodik) és ez egyértelmű, mert A magtere a {0} altér. Világos ugyanis, hogy A oszlopai független vektorrendszert alkotnak és így képtérbeli vektor csak az szorzatból jön ki.
1. b.
Oldja meg az
egyenletrendszert!
Megoldás
Innen kétféleképpen mehetünk tovább. Egyrészt az előadáson tanultak szerint egy inhomogén lineáris egyenletrendszer összes megoldását megkapjuk, ha egy megldásához hozzáadjuk a (homogén mátrix) magterét. Egy megoldás:
- z = 0,
- y -1
- x = (-2)(-1)-3 0 - 2 = 0
A magtér a dimenziótétel miatt egydimenziós, mert a képtér dimenziója a Gauss-eliminációból leolvasva 2, a kiindulási tér pedig 3 dimenziós. Egy magtérbeli vektor a normálalakból, az (1,1,?) alakban keresve az ?=-1, azaz
vektort adja, ami tényleg A magterben van benne. Ekkor a megoldás:
A másik lehetőség, hogy a harmadik változót paraméternek választjuk, és kifejezzük a változókat az
egyenletrenszerből:
- z = t,
- y = -t - 1
- x = (-2)(-t-1)-3t-2= -t
ami ugyanaz, mint az előző képlet, csak s = -t.
2
Legyen az A operátor R2-ben az y = -x egyenesre vett vetítés, B a 270°-os origó körüli forgatás. Írja fel a leképezések kompozícióinak mátrixát a sztenderd bázisra vonatkozóan. Kommutálnak-e a mártixaik?
Megoldás
Az (1,0) báziselem képe az A által (1/2,-1/2) a (0,1)-é (-1/2,1/2), így:
Valamint
Ekkor
illetve
És nem kommutálnak.
3
Tekintsük az
függvényt, ahol értelmezett, kiterjesztve
-val. Határozzuk meg a parciális deriváltjait (ha vannak) és állapítsa meg, hogy ezek folytonosak-e az origóban!
Megoldás
-hez -t kell vizsgálni. A pontbeli parciális derivált a 0-ban:
ugyanígy az y-szerinti parciális derivált az origóban 0.
Máshol a függvény differenciálhatóakból van összetéve a differenciálhatóságot megőrző módon, így differenciálható. A deriváltfüggvények: