Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 5
Tartalomjegyzék |
Topologia
1. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja nyilt?
2. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja zárt?
3. Miert zárt a [-1;1] intervallum?
4. Van-e olyan halmaz, mely se nem zárt se nem nyílt, ill. olyan, ami nyílt is és zárt is?
Mo.
1. Nem, ellenpélda: {[-1/n,1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1/n,1/n]|n∈N} = [-1;1], mely nem nyílt, ugyanis a -1 pontnak nincs olyan környezete, mely teljes egészében [-1 ;1]-ben lenne.
2. Nem, ellenpélda: {[-1+1/n,1-1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1+1/n,1-1/n]|n∈N} = (-1;1), ugyanis ha x∈(-1;1), akkor lesz olyan [-1+1/n,1-1/n] mely lefedi x-et. (-1;1) nem zárt ugyanis komplementere: (-∞,-1]U[1;∞) nem nyílt, hisz az 1 nek nincs olyan környezet, mely teljes egészében a halmazban lenne.
3. Mert komplementere a (-∞,-1)U(1;∞) halmaz két nyílt halmaz uniója, ami nyílt.
4. Igen, a [0;1) se nem nyílt, se nem zárt (0 neki, 1 a komplementerének nem belső pontja), és az üres és R nyílt-zárt, mert egymás komplementerei és az üres és R nyílt.
Határérték teljes differenciálhatóság
Hol totálisan diferenciálható az
függvény?
Mo.
Az origón kívül differenciálhatóakból van összetéve a differenciálhatósűgot megőrző módokon.
- f(x,0) = x, azaz és
- f(0,y) = − y, azaz
Ezért a Jacobi-mártix: [1 -1]
Ez a függvény az (x,0) pontokban azonosan 0, az (x,-x) pontokban nemnulla konstans, azaz nincs határértéke a (0,0)-ban.
Lokális és tartományi szélsőérték
Legyen
a) Hol és milyen lokális szélsőértéke van?
b) Hol és mekkora az x=0, y=0, y=1-x határolta tartományon a tartományi maximuma és minimuma?
Mo.
Innen y=-3x, x2 − 6x + 5 = 0, azaz x=1; 5, y= rendre -3, -15.
Hesse-mátrix:
Determinánsa az (1;-3) és (5;-15) pontokban rendre
azaz az első pontban maximuma, a másodikban minimuma van.
b) Belül nincs szélsőértéke. A peremen: (x,0), ahol x∈[0,1], akkor x3 + 15x, deriváltja: 2x2 + 15, ennek nincs nullhelye, azaz sz.m.nő: f(0,0)=0, f(1,0)=16. (0,y), ahol y∈[0,1], akkor y2, azaz sz.m.nő [0,1]-en: f(0,0)=0, f(0,1)=1. Az (x,1-x) mentén, ahol x∈[0,1]:
- f(x,1 − x) = x3 + 6x(1 − x) + (1 − x)2 + 15x deriváltja:
- f'(x,1 − x) = 3x2 + 6 − 12x − 2(1 − x) + 15 = 3x2 − 10x + 19 = 3(x − 5 / 3)2 − (25 / 3) + 19 > 0, azaz f(x,1-x) sz. m. nő.
Tehát f(0,0)=0 minimum, f(1,0)=16 maximum.
Konvergens sorok
Konvergensek-e az alábbi sorok?
- a)
- b)
- c)
Mo.
a) Igen, , ,és valóban: : azaz, mivel ∑1/n2 konvergens, ezért az intelligens kritérium miatt az a) sor is divergens.
b) divergens, mert az előző megoldás eleje miatt, azt az alábbiakkal folytatva
azaz, mivel ∑1/n divergens, ezért az intelligens kritérium miatt a b) sor is divergens.
c) A szükséges kritérium alapján, mivel
azaz nem nullához tartanak a tagok, ezért nem lehet c) konvergens, azaz c) divergens. (lim2 cos=1-et használtuk fel a határérték kiszámításakor.)
Integrálhatóság
a) Riemann-integrálható-e az
függvény az [0;1]×[0,1] kockán?
b) Riemann-integrálható-e az
függvény, azaz a halmaz karakterisztikus függvénye a [-1;1]×[-1;1] kockán?
c) Riemann-integrálható-e
függvény, az origó középpontú egység sugarú körlapon [0;1]×[0,1] kockán? Itt Dir(x,y) 1, ha (x,y) mindkét komponense racionális, és 0, ha valamelyik irracionális? Hol differenciálható ez a függvény?
Mo.
a) Megszüntethető szakadása van az (0,y) pontok mentén, azaz nullmértékű halmazon és korlátos, tehát integrálható.
b) Korlátos és a körvonal mentén szakad, azaz nullmértékű halmazon, tehát integrálható.
c) racionálisokra a z=x^2+y^2 forgási paraboloid, máshol a 0 függvény. Ez a körlapon az origó kivételével szakad. Ezt a [-1;1]×[-1;1]-re a 0 függvénnyel kiterjesztve nem nullmértékű sok helyen szakad, bár korlátos, azaz nem Riemann-integrálható. A függvény csak az origóban folytonos, de ott (amúgy) differenciálható is.