Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 5

Topologia

1. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja nyilt?

2. Igaz-e bármely végtelen sok zárt halmazból álló halmazrendszerre, hogy unioja zárt?

3. Miert zárt a [-1;1] intervallum?

4. Van-e olyan halmaz, mely se nem zárt se nem nyílt, ill. olyan, ami nyílt is és zárt is?

Mo.

1. Nem, ellenpélda: {[-1/n,1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1/n,1/n]|n∈N} = [-1;1], mely nem nyílt, ugyanis a -1 pontnak nincs olyan környezete, mely teljes egészében [-1 ;1]-ben lenne.

2. Nem, ellenpélda: {[-1+1/n,1-1/n]|n∈N}, ugyanis U{[-1+1/n,1-1/n]|n∈N} = (-1;1), ugyanis ha x∈(-1;1), akkor lesz olyan [-1+1/n,1-1/n] mely lefedi x-et. (-1;1) nem zárt ugyanis komplementere: (-∞,-1]U[1;∞) nem nyílt, hisz az 1 nek nincs olyan környezet, mely teljes egészében a halmazban lenne.

3. Mert komplementere a (-∞,-1)U(1;∞) halmaz két nyílt halmaz uniója, ami nyílt.

4. Igen, a [0;1) se nem nyílt, se nem zárt (0 neki, 1 a komplementerének nem belső pontja), és az üres és R nyílt-zárt, mert egymás komplementerei és az üres és R nyílt.

Határérték teljes differenciálhatóság

Hol totálisan diferenciálható az

$f(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2},\qquad (x,y)\ne (0,0),\qquad f(0,0)=0$

függvény?

Mo.

Az origón kívül differenciálhatóakból van összetéve a differenciálhatósűgot megőrző módokon.

f(x,0) = x, azaz $\partial_xf(0,0)=1$ és

f(0,y) = − y, azaz $\partial_yf(0,0)=-1$

Ezért a Jacobi-mártix: [1 -1]

$\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-[1\quad -1]\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{x^3-y^3-x^3-xy^2+y^3+yx^2}{x^2+y^2}-x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}=$

$=\frac{-xy^2+yx^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\frac{xy(-y+x}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

Ez a függvény az (x,0) pontokban azonosan 0, az (x,-x) pontokban nemnulla konstans, azaz nincs határértéke a (0,0)-ban.

Lokális és tartományi szélsőérték

Legyen

$f(x,y)=x^3+6xy+y^2+15x\;$

a) Hol és milyen lokális szélsőértéke van?

b) Hol és mekkora az x=0, y=0, y=1-x határolta tartományon a tartományi maximuma és minimuma?

Mo.

$\nabla f(x,y)=[3x^2+6y+15,\quad 6x+2y]$

$[3x^2+6y+15,\quad 6x+2y]=[0,\quad 0]$

$[x^2+2y+5,\quad 3x+y]=[0,\quad 0]$

Innen y=-3x, x² − 6x + 5 = 0, azaz x=1; 5, y= rendre -3, -15.

Hesse-mátrix:

$\begin{pmatrix} 6x & 6\\ 6 & 2\end{pmatrix}$

Determinánsa az (1;-3) és (5;-15) pontokban rendre

$\begin{vmatrix} 6 & 6\\ 6 & 2\end{vmatrix}<0,\qquad \begin{vmatrix} 30 & 6\\ 6 & 2\end{vmatrix}>0$

azaz az első pontban maximuma, a másodikban minimuma van.

b) Belül nincs szélsőértéke. A peremen: (x,0), ahol x∈[0,1], akkor x³ + 15x, deriváltja: 2x² + 15, ennek nincs nullhelye, azaz sz.m.nő: f(0,0)=0, f(1,0)=16. (0,y), ahol y∈[0,1], akkor y², azaz sz.m.nő [0,1]-en: f(0,0)=0, f(0,1)=1. Az (x,1-x) mentén, ahol x∈[0,1]:

f(x,1 − x) = x³ + 6x(1 − x) + (1 − x)² + 15x deriváltja:

f'(x,1 − x) = 3x² + 6 − 12x − 2(1 − x) + 15 = 3x² − 10x + 19 = 3(x − 5 / 3)² − (25 / 3) + 19 > 0, azaz f(x,1-x) sz. m. nő.

Tehát f(0,0)=0 minimum, f(1,0)=16 maximum.

Konvergens sorok

Konvergensek-e az alábbi sorok?

a) $\sum\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})$

b) $\sum n\sin(\frac{1}{n^2})$

c) $\sum n\cos(\frac{1}{n^3})$

Mo.

a) Igen, $\sin x\sim_0 x\,$, $\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n^2}$,és valóban: :$\lim\frac{\frac{1}{n}\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}}=\lim\frac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1>0$ azaz, mivel ∑1/n² konvergens, ezért az a) sor is az.

b) $\sum n\sin(\frac{1}{n^2})$ divergens, mert az előző megoldás eleje miatt, azt az alábbiakkal folytatva

$\lim\frac{n\sin(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{\sin(\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}}=1>0$

azaz, mivel ∑1/n divergens, ezért a b) sor is az.

c) A szükséges kritérium alapján, mivel

$\lim\cos(\frac{1}{n^3})=\lim n=\infty\ne 0$

azaz nem nullához tartanak a tagok, ezért nem lehet c) konvergens, azaz c) divergens. (lim₂ cos=1-et használtuk fel a határérték kiszámításakor.)

Integrálhatóság

a) Riemann-integrálható-e az

$f(x,y)=\frac{\sin x}{x},\qquad x\ne 0$

$f(0,y)=0\,$

függvény az [0;1]×[0,1] kockán?

b) Riemann-integrálható-e az

$1,\qquad x^2+y^2-1\ne 0$

$0,\qquad x^2+y^2-1 =0$

függvény, azaz a $H=\{(x,y)\mid x^2+y^2-1\ne 0 \}$ halmaz karakterisztikus függvénye a [-1;1]×[-1;1] kockán?

c) Riemann-integrálható-e

$Dir(x,y)\cdot(x^+y^2)$

függvény, az origó középpontú egység sugarú körlapon [0;1]×[0,1] kockán? Itt Dir(x,y) 1, ha (x,y) mindkét komponense racionális, és 0, ha valamelyik irracionális? Hol differenciálható ez a függvény?

Mo.

a) Megszüntethető szakadása van az (0,y) pontok mentén, azaz nullmértékű halmazon és korlátos, tehát integrálható.

b) Korlátos és a körvonal mentén szakad, azaz nullmértékű halmazon, tehát integrálható.

c) racionálisokra a z=x^2+y^2 forgási paraboloid, máshol a 0 függvény. Ez a körlapon az origó kivételével szakad. Ezt a [-1;1]×[-1;1]-re a 0 függvénnyel kiterjesztve nem nullmértékű sok helyen szakad, bár korlátos, azaz nem Riemann-integrálható. A függvény csak az origóban folytonos, de ott (amúgy) differenciálható is.