Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 12

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo(Változatok közti eltérés)
(Új oldal, tartalma: „:''Lásd erről még Serény [http://www.math.bme.hu/%7Esereny/LINKEK/vektanal.ps.gz jegyzetének (ps.gz/dvi)] 30., 34-35., 70-72. oldalán.'' A '''V''' = '''R'''<sup>…”)
 
(Ekvikonvergencia-kritérium)
 
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
:''Lásd erről még Serény [http://www.math.bme.hu/%7Esereny/LINKEK/vektanal.ps.gz jegyzetének (ps.gz/dvi)] 30., 34-35., 70-72. oldalán.''
+
==Improprius integrál==
 +
:''Lásd például:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/41_Improprius_int_feladatsor.pdf elmélet és példák], [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/42_Improprius_integral_mo.pdf megoldások] De, ezek nagyon nehéz feladatok!
  
A '''V''' = '''R'''<sup>2</sup>-ben, vagy '''R'''<sup>3</sup>-ban olyan matematikai objektumokat hozunk létre, melyek '''V''' minden bázisában felírva egy-egy mátrixszal jellemezhetők, de invariánsak a koordinátarendszer megváltoztatására nézve, azaz mátrixaik egymással vett szorzata (vagy összege, vagy vektorral, számmal vett szorzata) egyenlő a szorzat mátrixával.  '''R'''<sup>n</sup>-ben ilyet könnyen találunk: ezek az L('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''<sup>n</sup>)-beli lineáris operátorok:
+
'''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f &isin; R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f '''improprius integrálható I-n''' és '''improprius integrálján''' az
 +
:<math>\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\to \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\to \mathrm{inf}(I)}F(x)\,</math>
 +
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
  
'''Definíció.''' Az L('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''<sup>n</sup>)-beli lineáris operátorokat tenzoroknak, vagy másodrendű tenzoroknak nevezzük.
+
===Elemi példák===
 +
'''1.'''
 +
:<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to 1}\mathrm{ln}x-\lim\limits_{x\to 0}\mathrm{ln}x=0-(-\infty)=+\infty</math>
  
 +
azaz nem konvergens.
  
Minthogy a tenzorok maguk is invariánsak, találhatunk velük kapcsolatos további vektor, tenzor vagy skalárinvariánsokat.
+
'''2.'''
 +
Ellenben
 +
a  
 +
:<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x^r}\,\mathrm{d}x\quad\quad(r<1)</math>
 +
már létezik, mert
 +
<math>F(x)=\frac{1}{-r+1}\frac{1}{x^{r-1}}=\frac{1}{-r+1}x^{1-r}</math>
 +
ha x<math>\to</math> 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.
 +
:<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=...</math>
 +
'''3.'''
 +
Hasonlóképpen
 +
:<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math>
 +
szintén konvergens.
  
Először is megfogalmazzuk, hogy mitől invariáns egy mennyiség. Legyen B és C az n dimenziós '''V''' egy-egy bázisa. Legyen '''T''' a B-t a C-re váltó koordinátaváltás transzformációja, azaz a
+
===Összetettebb példák===
:<math>\mathbf{T}b_i=c_i\quad\quad(i=1...n)</math>
+
(tehát ez invertálható tenzor). Tudjuk hogy, ha '''A''' tetszőleges tenzor, akkor ő egy lineáris leképezés, és emiatt
+
:<math>[\mathbf{A}]_C=[\mathbf{T}^{-1}]_B[\mathbf{A}]_B[\mathbf{T}]_B\,</math>
+
Ez a tenzorok invariáns tulajdonsága.
+
  
Az f(''M'') &isin; '''R''' (''M'' &isin; M<sup>n&times;n</sup>) skalárfüggvényt akkor nevezzük '''invariánsnak''', ha minden B és C bázisra és '''A''' tenzorra:
+
'''1.'''  
:<math>f([\mathbf{A}]_C)=f([\mathbf{A}]_B)\,</math>
+
:<math>\int\limits_{0}^\infty\frac{\mathrm{arctg}^7\,x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x-\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x=\frac{\pi}{16}-0=0</math>
Másként, minden ''B'' bázisra, '''T''' a ''B'' megváltoztató koordinátaváltó transzformációra és '''A''' tenzorra 
+
:<math>f([\mathbf{A}])=f([\mathbf{T}^{-1}][\mathbf{A}][\mathbf{T}])\,</math>
+
ahol [.] a B-beli koordinátamátrixot jelenti.
+
  
Az m(''M'') &isin;  M<sup>n&times;n</sup> (''M'' &isin; M<sup>n&times;n</sup>) mátrixfüggvényt pedig akkor nevezzük '''invariánsnak''', ha minden B és C bázisra és '''A''' tenzorra:
+
===Ekvikonvergencia-kritérium===
:<math>m([\mathbf{A}]_C)=[\mathbf{T}^{-1}]m([\mathbf{A}]_B)[\mathbf{T}])\,</math>
+
azaz ha m az ''A'' mátrixával együtt transzformálódik.
+
  
===Determináns===
+
'''Tétel.''' (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I <math>\to</math> '''R''' függvények lokálisan integrálhatók, ''u'' az ''I'' akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a  
Vegyük az ''M'' <math>\mapsto</math> det(''M'') mátrixleképezést. A ''determinánsok szorzástétele'' szerint tetszőleges ''M'' és ''N'' mátrixra:
+
:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}</math>
:<math>\det(MN)=\det(M)\cdot\det(N)\,</math>
+
határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.
Emiatt ha ''A'' az '''A''' tenzor egy mátrixa és ''T'' a koordinátaváltó-mátrix, akkor:
+
:<math>\det(T^{-1}AT)=\det(T^{-1})\det(A)\det(T)=\det(T^{-1})\det(T)\det(A)=\,</math>
+
::<math>=\det(T^{-1}T)\det(A)=\det(I)\det(A)=1\cdot \det(A)=\det(A)\,</math>
+
Hiszen ''T''<sup>-1</sup>''T'' = I az egységmátrix.
+
  
Értelmes tehát az '''A''' tenzor determinánsának értelmezése úgy, hogy det('''A''') az '''A''' tetszőleges mátrixának determinánsa.
+
A fenti határértéket (tetszőleges u &isin; I'-re) még így is szokás jelölni:
  
===Nyom, trace, spur===
+
:<math>f(x)\sim_ug(x)\quad\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad\quad\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbf{R}^+</math>
Vegyük a következő mátrix leképezést:
+
és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g.
:<math>\mathrm{Sp}:\,M\mapsto \sum\limits_{i=1}^nM_{ii}</math>
+
azaz a mátrixok főátlóbeli elemeinek összegét. Ez is invariáns, melyet a következőkkel bizonyíthatunk. Először is belátjuk a spur szimmetrikus tulajdonságát. Tetszőleges ''A'', ''B'' mátrixra Sp(AB) = Sp(BA). Tudjuk, hogy két mátrix szorzata a következőképpen definiált:
+
:<math>(AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}\,</math>
+
ezért:
+
:<math>\mathrm{Sp}(AB)=\sum\limits_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{ki}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^nB_{ki}A_{ik}=</math>
+
:: <math>=\sum\limits_{k=1}^n(BA)_{kk}=\mathrm{Sp}(BA)\,</math>
+
Ez a képlet azt mondja, hogy "spur alatt a mátrixok kommutálnak". Az invariancia pedig:
+
:<math>\mathrm{Sp}(T^{-1}AT)=\mathrm{Sp}(T^{-1}TA)=\mathrm{Sp}(IA)=\mathrm{Sp}(A)\,</math>
+
Ez a mennyiség tehát az '''A''' tenzor egy '''skalárinvariáns'''a.
+
  
===Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok===
+
'''Példák.'''
Vegyük az '''A''' lineáris leképezést és ennek az S sztenderd bázisbeli mátrixát ''A''-t. Ekkor világos, hogy az ''A''<sup>T</sup> transzponált mátrixszal történő ''A''<sup>T</sup>['''v''']<sub>S</sub> szorzás egy lineáris leképezés, tehát tenzor, tenzortranszponálás definíciója tehát az, hogy minden '''A''' tenzorhoz hozzárendeljük a következő lineáris leképezést:
+
'''1.'''
:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{v}=[\mathbf{A}]_S^T\cdot [\mathbf{v}]_S\,</math>  
+
:<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x^2}</math>
ahol <math>\cdot</math> a mátrixszorzás.
+
Mivel az arc tg határértéke a végtelenben &pi;/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x<sup>2</sup>. ezt a következőkkel igazoljuk:
  
Ám, ez nem minden bázisban viselkedik úgy, ahogy azt a transzponálástól elvárjuk, azaz ha B egy tetszőleges bázis, akkor az ['''A''']<sub>B</sub><sup>T</sup> már nem feltétlejül a T<sup>-1</sup> ''A''<sup>T</sup>T mátrix, ahogy azt várnánk. Ellenben ortonormált bázisokra és a köztük váltó ortogonális transzformációkra már igen. Ezután a tárgyalást csak ortonormált (azaz páronként merőleges, egységhosszúságú bázisvektorú) bázisokra és az ezek között váltó O<sup>T</sup> = O<sup>-1</sup> egyenlőségnek eleget tévő távolságtartó vagy másként ortogonális transzformációkra szorítkozunk.
+
:<math>\lim\limits_{+\infty}\frac{\frac{\mathrm{arc\,tg}\,(x)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{+\infty}\mathrm{arc\,tg}\,(x)=\frac{\pi}{2}</math>
 +
Tehát az integrál konvergens.
  
Igaz az alábbi invariancia-tulajdonság. Ha B tetszőleges ortonormált bázis, ['''A''']<sub>B</sub>=''A'' és O<sup>T</sup> = O<sup>-1</sup>, akkor
+
:<math>\int\limits_{1}^{
:<math>(O^{-1}AO)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}(O^{-1}A)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}A^\mathrm{T}(O^{-1})^{\mathrm{T}}=O^{-1}A^{\mathrm{T}}O\,</math>
+
+\infty}\sin\frac{1}{x^2}</math>  
(Felhasználtuk a szorzat transzponálásának  (''AB'')<sup>T</sup>=  ''B''<sup>T</sup>''A''<sup>T</sup> szabályát -- nemdebár a mátrixszorzás nem kommutatív.) Tehát a sztenderd bázisban definiált transzponálás minden ortonormált bázisban transzponálás lesz, így ha csak ezekre szorítkozunk, akkor a '''A'''<sup>T</sup> fenti definíciója invariáns leképezést ad meg.
+
:<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sin x^3}</math>  
 +
:<math>\int\limits_{1}^{\infty}\sin^3\frac{1}{x}</math>
 +
:<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}</math>
 +
:<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}</math>
 +
:<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math>
  
Lényeges tehát, hogy transzponálást, szimmetria és antiszimmetria vizsgálatokat a tenzorok tekintetében most úgy végezünk, hogy tudatában vagyunk annak, hogy eközben a hagyományos, geometriai |'''a'''||'''b'''|cos &gamma; definíciójú skaláris szorzást használjuk (illetve ennek komponensenkénti változatát). Ezért nevezzük ezeket néha geometriai tenzoroknak.
+
Alkalmazások, forgástest térfogata: :''Lásd:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/43_Integral_alkalmazasok.pdf itt]
 
+
Az '''S''' tenzor '''szimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''S''' pontosan akkor szimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra
+
:'''u'''<math>\cdot</math>('''Sv''')='''v'''<math>\cdot</math>('''Su'''),
+
ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
+
 
+
Az '''A''' tenzor '''antiszimmetrikus''', ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy '''A''' pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden '''u''', '''v''' vektorra
+
:'''u'''<math>\cdot</math>('''Av''')=-'''v'''<math>\cdot</math>('''Au'''),
+
ahol <math>\cdot</math> a skaláris szorzás.
+
 
+
Bármely '''T''' tenzor egyértélműen előáll '''S''' + '''A''' alakban, ahol  '''S''' szimmetrikus, '''A''' pedig antiszimmetrikus, éspedig:
+
:<math>\mathbf{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(\mathbf{T}-\mathbf{T}^{\mathrm{T}})</math>
+
 
+
Két fontos tétel:
+
 
+
'''Tétel''' -- Ha '''A''' &isin;'''R'''<sup>3</sup> (illetve '''R'''<sup>2</sup> ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan '''a''' vektor (vagy ''a'' skalár), hogy minden '''v''' vektorra:
+
:<math>\mathbf{Av}=\mathbf{a}\times\mathbf{v}\quad\quad(\mathrm{vagy}\;\mathbf{Av}=a\cdot\mathrm{CROSS}(\mathbf{v}))</math> 
+
 
+
'''a'''-t (ill. ''a''-t) az '''A''' '''vektorinvariánsá'''nak nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az '''a'''&times;( . ) opertátorral, azonos így '''A''' ez az operátor. 
+
 
+
'''Főtengelyétel''' -- Ha '''S''' &isin;'''R'''<sup>n</sup> szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben '''S''' főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az '''S''' sajátértékei:
+
:<math>[\mathbf{S}]_{\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\
+
0& \ddots& 0\\
+
0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}</math>
+
Ez nehéz, de fontos tétel.
+

A lap jelenlegi, 2017. június 16., 10:53-kori változata

Tartalomjegyzék

Improprius integrál

Lásd például: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!

Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f improprius integrálható I-n és improprius integrálján az

\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\to \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\to \mathrm{inf}(I)}F(x)\,

számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.

Elemi példák

1.

\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to 1}\mathrm{ln}x-\lim\limits_{x\to 0}\mathrm{ln}x=0-(-\infty)=+\infty

azaz nem konvergens.

2. Ellenben a

\int\limits_{0}^1\frac{1}{x^r}\,\mathrm{d}x\quad\quad(r<1)

már létezik, mert F(x)=\frac{1}{-r+1}\frac{1}{x^{r-1}}=\frac{1}{-r+1}x^{1-r} ha x\to 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.

\int\limits_{0}^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=...

3. Hasonlóképpen

\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x

szintén konvergens.

Összetettebb példák

1.

\int\limits_{0}^\infty\frac{\mathrm{arctg}^7\,x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x-\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x=\frac{\pi}{16}-0=0

Ekvikonvergencia-kritérium

Tétel. (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I \to R függvények lokálisan integrálhatók, u az I akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a

\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}

határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.

A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni:

f(x)\sim_ug(x)\quad\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad\quad\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbf{R}^+

és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g.

Példák. 1.

\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x^2}

Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x2. ezt a következőkkel igazoljuk:

\lim\limits_{+\infty}\frac{\frac{\mathrm{arc\,tg}\,(x)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{+\infty}\mathrm{arc\,tg}\,(x)=\frac{\pi}{2}

Tehát az integrál konvergens.

\int\limits_{1}^{
+\infty}\sin\frac{1}{x^2}
\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sin x^3}
\int\limits_{1}^{\infty}\sin^3\frac{1}{x}
\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}
\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}
\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)

Alkalmazások, forgástest térfogata: :Lásd: itt

Személyes eszközök