Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 12

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2017. június 16., 10:51-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Lásd erről még Serény jegyzetének (ps.gz/dvi) 30., 34-35., 70-72. oldalán.

A V = R2-ben, vagy R3-ban olyan matematikai objektumokat hozunk létre, melyek V minden bázisában felírva egy-egy mátrixszal jellemezhetők, de invariánsak a koordinátarendszer megváltoztatására nézve, azaz mátrixaik egymással vett szorzata (vagy összege, vagy vektorral, számmal vett szorzata) egyenlő a szorzat mátrixával. Rn-ben ilyet könnyen találunk: ezek az L(Rn,Rn)-beli lineáris operátorok:

Definíció. Az L(Rn,Rn)-beli lineáris operátorokat tenzoroknak, vagy másodrendű tenzoroknak nevezzük.


Minthogy a tenzorok maguk is invariánsak, találhatunk velük kapcsolatos további vektor, tenzor vagy skalárinvariánsokat.

Először is megfogalmazzuk, hogy mitől invariáns egy mennyiség. Legyen B és C az n dimenziós V egy-egy bázisa. Legyen T a B-t a C-re váltó koordinátaváltás transzformációja, azaz a

\mathbf{T}b_i=c_i\quad\quad(i=1...n)

(tehát ez invertálható tenzor). Tudjuk hogy, ha A tetszőleges tenzor, akkor ő egy lineáris leképezés, és emiatt

[\mathbf{A}]_C=[\mathbf{T}^{-1}]_B[\mathbf{A}]_B[\mathbf{T}]_B\,

Ez a tenzorok invariáns tulajdonsága.

Az f(M) ∈ R (M ∈ Mn×n) skalárfüggvényt akkor nevezzük invariánsnak, ha minden B és C bázisra és A tenzorra:

f([\mathbf{A}]_C)=f([\mathbf{A}]_B)\,

Másként, minden B bázisra, T a B megváltoztató koordinátaváltó transzformációra és A tenzorra

f([\mathbf{A}])=f([\mathbf{T}^{-1}][\mathbf{A}][\mathbf{T}])\,

ahol [.] a B-beli koordinátamátrixot jelenti.

Az m(M) ∈ Mn×n (M ∈ Mn×n) mátrixfüggvényt pedig akkor nevezzük invariánsnak, ha minden B és C bázisra és A tenzorra:

m([\mathbf{A}]_C)=[\mathbf{T}^{-1}]m([\mathbf{A}]_B)[\mathbf{T}])\,

azaz ha m az A mátrixával együtt transzformálódik.

Determináns

Vegyük az M \mapsto det(M) mátrixleképezést. A determinánsok szorzástétele szerint tetszőleges M és N mátrixra:

\det(MN)=\det(M)\cdot\det(N)\,

Emiatt ha A az A tenzor egy mátrixa és T a koordinátaváltó-mátrix, akkor:

\det(T^{-1}AT)=\det(T^{-1})\det(A)\det(T)=\det(T^{-1})\det(T)\det(A)=\,
=\det(T^{-1}T)\det(A)=\det(I)\det(A)=1\cdot \det(A)=\det(A)\,

Hiszen T-1T = I az egységmátrix.

Értelmes tehát az A tenzor determinánsának értelmezése úgy, hogy det(A) az A tetszőleges mátrixának determinánsa.

Nyom, trace, spur

Vegyük a következő mátrix leképezést:

\mathrm{Sp}:\,M\mapsto \sum\limits_{i=1}^nM_{ii}

azaz a mátrixok főátlóbeli elemeinek összegét. Ez is invariáns, melyet a következőkkel bizonyíthatunk. Először is belátjuk a spur szimmetrikus tulajdonságát. Tetszőleges A, B mátrixra Sp(AB) = Sp(BA). Tudjuk, hogy két mátrix szorzata a következőképpen definiált:

(AB)_{ij}=\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}\,

ezért:

\mathrm{Sp}(AB)=\sum\limits_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nA_{ik}B_{ki}=\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{i=1}^nB_{ki}A_{ik}=
=\sum\limits_{k=1}^n(BA)_{kk}=\mathrm{Sp}(BA)\,

Ez a képlet azt mondja, hogy "spur alatt a mátrixok kommutálnak". Az invariancia pedig:

\mathrm{Sp}(T^{-1}AT)=\mathrm{Sp}(T^{-1}TA)=\mathrm{Sp}(IA)=\mathrm{Sp}(A)\,

Ez a mennyiség tehát az A tenzor egy skalárinvariánsa.

Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok

Vegyük az A lineáris leképezést és ennek az S sztenderd bázisbeli mátrixát A-t. Ekkor világos, hogy az AT transzponált mátrixszal történő AT[v]S szorzás egy lineáris leképezés, tehát tenzor, tenzortranszponálás definíciója tehát az, hogy minden A tenzorhoz hozzárendeljük a következő lineáris leképezést:

\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{v}=[\mathbf{A}]_S^T\cdot [\mathbf{v}]_S\,

ahol \cdot a mátrixszorzás.

Ám, ez nem minden bázisban viselkedik úgy, ahogy azt a transzponálástól elvárjuk, azaz ha B egy tetszőleges bázis, akkor az [A]BT már nem feltétlejül a T-1 ATT mátrix, ahogy azt várnánk. Ellenben ortonormált bázisokra és a köztük váltó ortogonális transzformációkra már igen. Ezután a tárgyalást csak ortonormált (azaz páronként merőleges, egységhosszúságú bázisvektorú) bázisokra és az ezek között váltó OT = O-1 egyenlőségnek eleget tévő távolságtartó vagy másként ortogonális transzformációkra szorítkozunk.

Igaz az alábbi invariancia-tulajdonság. Ha B tetszőleges ortonormált bázis, [A]B=A és OT = O-1, akkor

(O^{-1}AO)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}(O^{-1}A)^{\mathrm{T}}=O^{\mathrm{T}}A^\mathrm{T}(O^{-1})^{\mathrm{T}}=O^{-1}A^{\mathrm{T}}O\,

(Felhasználtuk a szorzat transzponálásának (AB)T= BTAT szabályát -- nemdebár a mátrixszorzás nem kommutatív.) Tehát a sztenderd bázisban definiált transzponálás minden ortonormált bázisban transzponálás lesz, így ha csak ezekre szorítkozunk, akkor a AT fenti definíciója invariáns leképezést ad meg.

Lényeges tehát, hogy transzponálást, szimmetria és antiszimmetria vizsgálatokat a tenzorok tekintetében most úgy végezünk, hogy tudatában vagyunk annak, hogy eközben a hagyományos, geometriai |a||b|cos γ definíciójú skaláris szorzást használjuk (illetve ennek komponensenkénti változatát). Ezért nevezzük ezeket néha geometriai tenzoroknak.

Az S tenzor szimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy S pontosan akkor szimmetrikus, ha minden u, v vektorra

u\cdot(Sv)=v\cdot(Su),

ahol \cdot a skaláris szorzás.

Az A tenzor antiszimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy A pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden u, v vektorra

u\cdot(Av)=-v\cdot(Au),

ahol \cdot a skaláris szorzás.

Bármely T tenzor egyértélműen előáll S + A alakban, ahol S szimmetrikus, A pedig antiszimmetrikus, éspedig:

\mathbf{T}=\frac{1}{2}(\mathbf{T}+\mathbf{T}^{\mathrm{T}})+\frac{1}{2}(\mathbf{T}-\mathbf{T}^{\mathrm{T}})

Két fontos tétel:

Tétel -- Ha AR3 (illetve R2 ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan a vektor (vagy a skalár), hogy minden v vektorra:

\mathbf{Av}=\mathbf{a}\times\mathbf{v}\quad\quad(\mathrm{vagy}\;\mathbf{Av}=a\cdot\mathrm{CROSS}(\mathbf{v}))

a-t (ill. a-t) az A vektorinvariánsának nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az a×( . ) opertátorral, azonos így A ez az operátor.

Főtengelyétel -- Ha SRn szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben S főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az S sajátértékei:

[\mathbf{S}]_{\{\mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\}}=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\
0& \ddots& 0\\
0 & 0& \lambda_n\end{pmatrix}

Ez nehéz, de fontos tétel.

Személyes eszközök