Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 14

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2017. június 16., 10:43-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)


A T= J1× J2 korlátos és zárt téglalap egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely a T-t unióként előállító, egymásba nem nyúló tengelyekkel márhuzamos oldalú téglalapokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan η függvényt, melyre:

  1. Dom(η) minden I eleme tengelyekkel párhuzamos oldalú zárt téglalap, melyek egymásba nem nyúlnak, uniójuk T
  2. minden I ∈ Dom(η) esetén  \eta(I)\in I.

A T összes Riemann-felosztásai halmazát RF(T) jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes elem területe (oldalhosszainak szorzata) kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, RFδ(T) jelöli, ezt a halmazt a T összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.

Egy f, az T-n értelmezett és R-be képező függvény egy η felosztáshoz tartozó Riemann-közelítő összegén a

\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{I\in\mathrm{Dom}(\eta)}f(\eta(I))\cdot|I|

Ekkor már definiálhatjuk az Riemann-integrálhatóságot:

Definíció. Legyen f:T \to Regy zárt és korlátos téglán értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az A valós szám, ha

(\forall \varepsilon> 0)(\exists \delta >0)(\forall \eta\in\mathrm{RF}_{\delta}(T))(|\sigma_f(\eta)-A|< \varepsilon)

Belátható, hogy ha f integrálható, akkor A egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az

\int\limits_{T} f, vagy az \int \limits_{T_{x,y}}f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y

szimbólum szolgál.

A T téglalapon Riemann-integrálható függvények halmazát R(T) jelöli.

Az integrál lényegében a függvény grafikonja alatti térfogat. Integrálható függvény esetén létezik ez a térfogat, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül A-hoz.

Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden résztégláján is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk).

Egy kompakt K halmazon értelmezett f függvény integrálja nem más, mint tetszőleges a K-t tartalmazó T tégla esetén az

\hat{f}=\left\{\begin{matrix} 0,&  \mathrm{ha} & x\in T\setminus K \\f(x),&  \mathrm{ha} & x\in  K 
\end{matrix}\right.

függvény integrálja T-n, ha ez létezik.

Tartalomjegyzék

A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele

Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezelhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban a klasszikus analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.

Tétel. Legyen f: T \to R korlátos és zárt téglán értelmezett függvény. f pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz

f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}(T)\;\wedge\; \mathrm{m}(\mathrm{discon}(f))=0)

Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy HRN halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (In) téglasorozat, hogy ennek össztérfogata < ε és lefedi H-t.

Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.

Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.

Példa. Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. (Lásd: az ördög lépcsője függvényt)

A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma

Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.

  1. f\in \mathrm{R}(T)\;\Rightarrow\;f\in \mathrm{B}(T)
    csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
  2. f\in \mathrm{R}(T)\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}(T)
    (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt

Kétváltozós függvény integráljának kiszámítása

Ha f:[a,b]×[c,d] \to R intergálható, akkor

  1. minden x-re a F(x)=\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\,\mathrm{d}y,\,\quad x\in[a,b] függvény is integrálható és
  2. \int\limits_{x=a}^b \left(\;\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} f

Ugyanis, ha ekkor f korlátos, és L.-0-mértékű a szakadásainak halmaza. Emiatt az f(x,.) függvények is ilyenek, melyek integrálja folytonos a [c,d] intervallumon, amiből korlátos is, tehát integrálható.

Másrészt,


Paraméteres integrál integrálhatóságának kritériuma

Legyen f:[a,b]×[c,d] \to R folytonos. Ekkor az

F(y)=\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\,\mathrm{d}x,\,\quad y\in[c,d]

létezik mert az integrandusa folytonos. Mi több, maga is folytonos.

Ugyanis,

F(y)-F(y_0)=\int\limits_{x=a}^b f(x,y)- f(x,y_0)\,\mathrm{d}x\,

Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel f egyenletesen folytonos, ezért létezik δ>0, hogy ha |(x,y)-(x,y0)| < δ, akkor

|f(x,y)- f(x,y_0)|<\frac{\varepsilon}{b-a}\,

Ekkor viszont

|F(y)-F(y_0)|\leq\int\limits_{x=a}^b |f(x,y)- f(x,y_0)|\,\mathrm{d}x\,\leq\frac{\varepsilon}{b-a}\cdot (b-a)=\varepsilon

Tehát F(y) folytonos (egyenletesen) és így integrélható egyváltozós függvény, azaz létezik:

A=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}y

Ez alapot ad az integrál kiszámítására: az f(x,y) kétváltozós függvény intergálja tengelyekkel párhuzamos oldalú téglalap alakú tartományon nem függ az integrálás sorrendjétől. Ezesetben a "másik változót" mindig konstansnak vesszük:

\int\limits_{[a,b]\times[c,d]}f=\int\limits_{x=a}^b\left(\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x=
=\int\limits_{x=a}^b\int\limits_{y=c}^d f(x,y)\;\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\int\limits_{y=c}^d\left(\int\limits_{x=a}^b f(x,y)\;\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y

Tétel. Ha f:[a,b]×[c,d] \to R integrálható, minden y ∈ [c,d]-re x\mapsto f(x,y) is integrálható és F:y\mapsto \int\limits_{x=a}^b f(x,y) is integrálható, akkor \int f=\int\limits_{c}^d F.

Bizonyítás. Legyen ε>0. Legyen A olyan, hogy

\int\limits_{c}^d F=A

Ekkor ε/2-höz létezik olyan δ>0, hogy [c,d]-nek minden δ-nál finomabb ηJ Riemann-felosztására:

\left|\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|-A\right|<\dfrac{\varepsilon}{2}

De ekkor létezik a ε/2(d-c)-hez és minden J-re olyan δ'>0, hogy [a,b]-nek minden δ'-nál finomabb ξI Riemann-felosztására:

\left|\sum\limits_{I}f(\xi_I,\eta:_J)|I|-F(\eta_J)\right|<\dfrac{\varepsilon}{2(d-c)}

Viszont ekkor

\left|\sum\limits_{I}\sum\limits_{J}f(\xi_I,\eta_J)|J||I|-\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|+\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|-A\right|=\left|\sum\limits_{J}(\sum\limits_{I}f(\xi_I,\eta_J)|I|-F(\eta_J))|J|+\sum\limits_{J}F(\eta_J)|J|-A\right|
Személyes eszközök