Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 16

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2017. június 16., 10:40-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

A dimenziótétel az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (kiegészítő jellegű) kapcsolatra mutat rá. Most csak az \mbox{ }_\mathcal{L}(Rn;Rm) leképezéseket vizsgáljuk (a tétel bármely végesdimenziós vektortérből tetszőleges vektortérbe menő lineáris függvényre is igaz.)

Magtér

Az A : Rn \to Rm lineáris leképezés magtere:

\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{v\in \mathbf{R}^n\mid \mathbf{A}v=0\}

világos, hogy ez altér. Ugyanis altér jelemzhető úgy, mint olyan részhalmaz a térben, mely zárt az összeadásra és a skalárral történő szorzásra. De Ker(A) ilyen, mert tetszőleges u, v vektorra

\mathbf{A}v=0\;\land\;\mathbf{A}u=0 \quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=0\quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}(v+u)=0

és

\mathbf{A}v=0\quad \Rightarrow\quad\lambda.(\mathbf{A}v)=0\quad \Rightarrow\quad\mathbf{A}(\lambda.v)=0

Bázisát (Rn-ben) például az A leképezés [A] mátrixának Gauss-eliminációjával és az [A]x=0 homogén egyenletrendszer megoldásával nyerhetünk (példa itt).

Képtér

Az A : Rn \to Rm lineáris leképezés képtere:

\mathrm{Im}(\mathbf{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathbf{A}v\in \mathbf{R}^m\mid v\in \mathbf{R}^n\}

világos, hogy ez altér. Ugyanis alkalmas v és u vektorokkal:

\mathbf{A}v+\mathbf{A}u=\mathbf{A}(v+u)

és

\lambda.(\mathbf{A}v)=\mathbf{A}(\lambda.v)

Bázisát (Rn-ben) például úgy nyerünk, hogy a A leképezés [A] mátrixának oszlopvektorai közül Gauss-eliminációval kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa itt).

Tétel és bizonyítás

Dimenziótétel. Ha A : Rn \to Rm lineáris leképezés, akkor

\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = n

Bizonyítás. Ha vesszük Ker(A) egy

B=\{b_1,...,b_k\}\,

bázisát (Ker(A) dimenziója tehát k) akkor világos, hogy a báziselemek képei által kifeszített

\langle\mathbf{A}b_1,\mathbf{A}b_2,...,\mathbf{A}b_k\rangle

altér az Rm-beli triviális {0} altér. Világos, hogy ha veszük egy Ker(A)-n kívüli c vektort, akkor ez már nem képeződhet a {0}-ba. Megfogalmazhatjuk tehát azt a sejtést, hogy ha B-t kibővítíjük Rn bázisává, mondjuk a

C=\{c_1,...,c_l\}\,

független vektorrendszerrel, akkor C elemeinek képei Im(A) bázisát fogja adni. Ezt fogjuk igazolni, azaz hogy

\langle\mathbf{A}c_1,\mathbf{A}c_2,...,\mathbf{A}c_l\rangle=\mathrm{Im}(\mathbf{A})

és ami a tétel állítását igazolja: Im(A) dimenziója pont l.

1. Először belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } generátorrendszere Im(A)-nak. Legyen

v=\mathbf{A}u\,

Mivel B + C bázisa Rn-nek, ezért u előáll (egyértelmű módon)

u=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l\,

alakban. De u képében a B-beliekkel előállíthatók a {0}-ba mennek, így már a C-ből jövő képek is előállítják Au-t:

\mathbf{A}u=\mathbf{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k)+\mathbf{A}(\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=
=0+\mathbf{A}(\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)
=\mu_1\mathbf{A}c_1+\mu_2\mathbf{A}c_2+...+\mu_l\mathbf{A}c_l

2. Belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } független vektorrendszer is, tehát dimenziója l.

Tegyük fel, hogy vannak ν1, ν2, ...,νl számok, melyekkel

\nu_1\mathbf{A}c_1+\nu_2\mathbf{A}c_2+...+\nu_l\mathbf{A}c_l=0

A függetlenséghez az kell, hogy ν1, ν2, ...,νl-k mind nullák legyenek. Természetesen a bal oldalon kiemelhetünk A-t, tehát:

\mathbf{A}(\nu_1c_1+\nu_2c_2+...+\nu_lc_l)=0

Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy ha az

u=\nu_1c_1+\nu_2c_2+...+\nu_lc_l\,

rövidítéshez folyamodunk, akkor

u\in \mathrm{Ker}(\mathbf{A})

azaz az u vektor B-beli elemekkel is és C-beli elemekkel is előállítható. De ez csak úgy lehet, hogy u=0, ami pedig csak akkor van, ha a ν1, ν2, ...,νl számok mind nullák.

Mindez azt jelenti, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } bázis, amiből következik, hogy az általa kifeszített altér dimenziója l. De a kifeszített altér pont Im(A), így azt kaptuk, hogy

\mathrm{dim}(\mathrm{Im}(\mathbf{A}))=n-k\,

vagyis, amit be akartunk látni.

Megjegyzés. Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne v ≠ 0, hogy

v=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kc_k\,

és közben

v=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_kc_k\,

akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B + C nem független rendszer (holott B + C a B egy kibővítése az Rn bázisává).

Ilyenkor azt mondjuk, hogy a Rn vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek direkt összegeként:

\mathbf{R}^{n}=\langle B\rangle\oplus\langle C\rangle\,
Személyes eszközök