Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 5

Mozo (vitalap | szerkesztései)
(Új oldal, tartalma: „'''Tétel''' – ''Bolzano-tétel'' – Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felveő folytonos függvénynek van zérushelye. a Bolzano-t…”)
Újabb szerkesztés →

---

A lap 2015. május 24., 19:45-kori változata

Tétel – Bolzano-tétel – Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felveő folytonos függvénynek van zérushelye.

a Bolzano-tételt még olymódon is szokás kimondani, hogy 

intervallumon értelmezett folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz

melyet Darboux-tulajdonságnak neveznek. A Bolzano-tétel lényegében azt mondja ki, hogy az intervallumon folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Megjegyezzük, hogy a Darboux-tétel pedig azt mondja ki, hogy az intervallumon differenciálható függvények deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú.

Tétel – Weierstrass-féle minimum-maximum-elv – Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.

Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát (és esetleg a bizonyitas egy masik variansa a Heine–Borel-tételt).

(Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.

Heine–Borel-tétel. Veges dimenzios normalt terben korlátos és zárt halmaz kompakt.)

Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

(Ha f ∈ C(Rⁿ,R), Dom(f) kompakt, akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f) )

Bizonyítás.

1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a B_δ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-ε,f(u)+ε) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokbol allo {B_δ(u)(u) : u ∈ K} rendszer lefedi K-t, ami kompakt, azaz ebből mar véges sok is lefedi K-t. Legyen ez {B_δ(u)(u) : u ∈ F}, ahol tehát F ⊆ K véges. Ezek képei mind a (f(u)-ε,f(u)+ε) (u∈F) intervallumokban vannak, így a {(f(u)-ε,f(u)+ε) : u ∈ F} véges intervallumrendszer lefedi Ran(f)-et. Tehát f a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik.

2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K $\to$ R, x $\mapsto$ S-f(x)függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a

$h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}$

függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum, mert f minden határon túl megközelíti S-et. Ugyanis minden S - 1/n számhoz létezik olyan x_n ∈ K, hogy f(x_n) > S - 1/n. Létezik tehát olyan (x_n) K-ban haladó sorozat, melyre f(x_n) alulrúl az S-hez tart. Ám, ekkor az 1/(S-f(x_n)) a +∞-hez tart, ami h korlátossága miatt lehetetlen.