Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 5

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo(Változatok közti eltérés)
 
30. sor: 30. sor:
  
 
''Bizonyítás.'' Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.
 
''Bizonyítás.'' Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.
 +
 +
Azt mondjuk, hogy az ''f'': '''R''' <math>\supset\!\to</math> '''R''' függvény folytonos az értelmezési tartománya egy ''u'' pontjában, ha
 +
:<math>(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)</math>
 +
Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos
 +
 +
Legyen ''f'' egy az ''A'' &sube; '''R''' halmazon értelmezett, '''R'''-be képező függvény. Legyen <math>\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}}</math> az ''A'' torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az ''f''-nek a <math>\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}}</math> elem '''határértéke''' az ''u''-ban, ha
 +
:minden &epsilon; > 0 esetén létezik olyan &delta; > 0, hogy minden ''x'' &isin; ''A'' &cap; B<sub>&delta;</sub>(''u'')\{u}-re ''f''(''x'') &isin; B<sub>&epsilon;</sub>(''v'')
 +
 +
ahol természetesen a +&infin; és -&infin; környezetei a már említett módon értendők.
 +
 +
Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:
 +
:<math>
 +
\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,</math>
  
 
Folytonosság és határérték kapcsolata
 
Folytonosság és határérték kapcsolata
43. sor: 56. sor:
 
# létezik az ''f''-nek olyan <math>\scriptstyle{\overline{f}}</math> ''u''-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy  
 
# létezik az ''f''-nek olyan <math>\scriptstyle{\overline{f}}</math> ''u''-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy  
 
#:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=v\,</math>
 
#:<math>\overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}</math> és <math>\overline{f}(u)=v\,</math>
 +
 +
'''Definíció''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
 +
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az ''u'' pontban az ''A'', ha
 +
&forall;&epsilon;>0 &exist;&delta;>0 &forall;x&isin;''D'' x &isin; B<sub>&delta;</sub>(u) <math> \Rightarrow</math> B<sub>&epsilon;</sub>(A)
 +
 +
Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek  folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés.
 +
 +
Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
 +
 +
'''Tétel.''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
 +
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
 +
# létezik <math>\lim\limits_{u} f=A</math>,
 +
# <math>(\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)</math>
 +
 +
Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
 +
 +
'''Tétel.''' Legyen ''D'' &sube; '''R'''<sup>N</sup>,
 +
f: ''D'' <math>\to</math> '''R'''<sup>M</sup>, ''A'' &isin; '''R'''<sup>M</sup>, ''u'' &isin; '''R'''<sup>N</sup> torlódási pontja ''D''-nek. ''f''-nek nincs határértéke ''u''-ban, ha
 +
:létezik olyan <math>(a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+}</math> sorozat, hogy bár <math>a_n\to u</math>, de <math>(f(a_n))</math> nem konvergens.

A lap jelenlegi, 2015. május 24., 19:55-kori változata

Tétel – Bolzano-tétel – Intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felveő folytonos függvénynek van zérushelye.

a Bolzano-tételt még olymódon is szokás kimondani, hogy

intervallumon értelmezett folytonos függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz

melyet Darboux-tulajdonságnak neveznek. A Bolzano-tétel lényegében azt mondja ki, hogy az intervallumon folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Megjegyezzük, hogy a Darboux-tétel pedig azt mondja ki, hogy az intervallumon differenciálható függvények deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú.

Tétel – Weierstrass-féle minimum-maximum-elv – Korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény felveszi abszolút minimumát és maximumát.

Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát.

(Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.)

Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.

Azaz ha K⊆RN kompakt és f ∈ C(K,R), akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f)

Bizonyítás. 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az ε=1 és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-1;,f(u)+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló

\{\mathrm{B}_{\varepsilon}(u)\}_{u\in K}\,

rendszer lefedi K-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik V ⊆ K véges, hogy

K\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u)\,

Ezek képei lefedik Ran(f)-et:

f(K)\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}f(\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u))\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\{\mathrm{B}_{1}(f(u))\,

Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát f képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos.

2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K \to R, x \mapsto S-f(x) függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a

h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}

függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(f) azt jelenti, hogy minden 1/n alakú számra van xn ∈ K, hogy | S − f(xn) | < 1 / n, azaz van olyan K-beli xn sorozat, melynek képsorozata h által a végtelenbe tart, azaz h nem korlátos.

Tétel (Bolzano) Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.

(Ha f ∈ C(Rn,Rm), Dom(f) ívszerűen összefüggő, akkor Ran(f) is ívszerűen összefüggő.)

Bizonyítás. Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.

Azt mondjuk, hogy az f: R \supset\!\to R függvény folytonos az értelmezési tartománya egy u pontjában, ha

(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in \mathrm{Dom}(f))(|x-u|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(u)|<\varepsilon)

Folytonos egy függvény, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos

Legyen f egy az A ⊆ R halmazon értelmezett, R-be képező függvény. Legyen \scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{R}}} az A torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy az f-nek a \scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{R}}} elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden x ∈ A ∩ Bδ(u)\{u}-re f(x) ∈ Bε(v)

ahol természetesen a +∞ és -∞ környezetei a már említett módon értendők.

Ebben az esetben a határérték egyértelmű és jelölése:

\lim\limits_{x\to u}f(x)=\lim\limits_{u}f=v\,

Folytonosság és határérték kapcsolata

A folytonosságot, csak az értelmezési tartomány pontjaiban nézhetünk, hisz a definícióban f(u) is szerepel. Ellenben határértéket akár azon kívüli is nézhetünk (sőt!). Mégis, a két fogalom között szoros kapcsolat van:

1. Tétel. -- Folytonos függvény határértéke a helyettesítési értéke -- Legyen az u az f értelmezési tartományában. Ekkor a következők ekvivalensek egymással:

  1. f folytonos u-ban
  2. u izolált pontja Dom(f)-nek, vagy u torlódási pontja Dom(f)-nek, létezik u-an határértéke és limuf = f(u)

2. Tétel. -- Véges helyen véges határértékű függvény folytonossá tehető -- Legyen u a Dom(f) véges torlódási pontja és v véges (R-beli) szám. Ekkor a következők ekvivalensek.

  1. \exists\lim\limits_{u}f=v\,
  2. létezik az f-nek olyan \scriptstyle{\overline{f}} u-ban folytonos kiterjeszétse (vagy módosítása), hogy
    \overline{f}|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}}=f|_{\mathrm{Dom}(f)\setminus \{u\}} és \overline{f}(u)=v\,

Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D \to RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) \Rightarrow Bε(A)

Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.

Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:

Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D \to RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:

  1. létezik \lim\limits_{u} f=A,
  2. (\forall (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+})(a_n\to u\quad\Rightarrow\quad f(a_n)\to A)

Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:

Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D \to RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. f-nek nincs határértéke u-ban, ha

létezik olyan (a_n)\in\mathrm{Dom}(f)\setminus\{u\}^{\mathbf{Z}^+} sorozat, hogy bár a_n\to u, de (f(an)) nem konvergens.
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A2_szigorlat_5&oldid=10779”
Személyes eszközök