Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 7
Mozo (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „ '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' ∈ int Dom(''f''). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálhat…”) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő egy közbeeső változata nincs mutatva) | |||
75. sor: | 75. sor: | ||
de ez fordítva már nem igaz: | de ez fordítva már nem igaz: | ||
: '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság | : '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az ''u'' egy környezetében és ''u''-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor ''u''-ban ''f'' differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.) | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek. | ||
+ | |||
+ | Az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}(x^2+y^2)\sin\cfrac{1}{x^2+y^2}, & \mbox{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\\\ | ||
+ | 0, & \mbox{ha} & (x,y) =(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | </math> | ||
+ | differenciálható, hiszen ez az | ||
+ | :<math>f(\mathbf{r})=\left\{\begin{matrix} \mathbf{r}^2\cdot\sin(|\mathbf{r}|^{-2}) & \mbox{ha} & \mathbf{r}\ne \mathbf{0}\\\\ | ||
+ | \mathbf{0}, & \mbox{ha} & \mathbf{r}= \mathbf{0}\end{matrix}\right. | ||
+ | </math> | ||
+ | függvény és '''r''' ≠ '''0'''-ban: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}(f)=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).\mathrm{grad}\,\mathbf{r}^2+\mathbf{r}^2.\mathrm{grad}\,\sin(|\mathbf{r}|^{-2})=</math> | ||
+ | :<math>=\sin(|\mathbf{r}|^{-2}).2\mathbf{r}+\mathbf{r}^2\cdot\cos(|\mathbf{r}|^{-2})\cdot(-2)|\mathbf{r}|^{-3}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math> | ||
+ | és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is meglátszik: azok sem korlátosak. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az ''u'' egy környezetében és folytonosak az ''u'' pontban, akkor az ''u''-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek: | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_y f)(u)=\partial_y(\partial_x f)(u)</math> | ||
+ | |||
+ | Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus: | ||
+ | :<math>H^f(u)=\begin{bmatrix} | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\ | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2} | ||
+ | \end{bmatrix}</math> |
A lap jelenlegi, 2015. május 24., 20:19-kori változata
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
jelöli.
Példa:
Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Definíció. Legyen f: Rn Rm és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rn Rm lineáris leképezés, hogy
Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.
Megjegyzés. A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik A: Rn Rm lineáris leképezés és ε: Dom(f) Rm függvény, melyre:
- ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá
minden x ∈ Dom(f)-re:
Megjegyzés. Azt, hogy A egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen A és B is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az u-ban eltűnő és ott folytonos Dom(f)-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden x ∈ Dom(f)-re
ezeket kivonva egymásból és használva minden x-re:
így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
az azonosan 0 függény határértéke t 0 esetén szintén nulla:
hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t 0 esetén ε és η nullává válik. Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineáris operátor azonosan egyenlő.
Jacobi-mátrix A df(u) lineáris leképezés (e1,e2,...,en) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) leképezés!
Írjuk fel a definíciót, de az e1 egységvektor mentén tartsunk u-hoz: x = u + te1. Ekkor
ami azért hasznos, mert a
alakból kiemelhetó t:
azaz
vagyis f koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.
Következmény. Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
Azaz:
- teljes differenciálhatóság parciális differenciálhatóság
de ez fordítva már nem igaz:
- parciális differenciálhatóság teljes differenciálhatóság
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben.
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is meglátszik: azok sem korlátosak.
Tétel. (Young-tétel) Ha a másodrendű parciláis deriváltak léteznek az u egy környezetében és folytonosak az u pontban, akkor az u-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek:
Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus: