Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 8

Deriváltak, differenciálási szabályok

Definíció. Az f: R⊃$\to$R függvény deriváltfüggvényén értjük a

$f':\;\{x\in\mathrm{Dom}\,f\mid f \;\mathrm{''diff.hato}\;x\mathrm{-ben''} \}\to\mathbf{R},\;x\mapsto f'(x)$

$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\,$

$(e^x)'=e^x\,$

$(\mathrm{ln}\,x)'=\frac{1}{x}$

$(\sin x)'=\cos x\,$

$(\cos x)'=-\sin x\,$

$(\mathrm{arctg}\,x)'=\frac{1}{1+x^2}$

Linearitás

A hozzáadott konstans szabálya: $(f+c)'=f'\,$

A konstans szorzó szabálya: $(cf)'=cf'\,$

Linearitás: $(af+bg)'=af'+bg'\,$

Szorzat és hányados

$(fg)'=f'g+fg'\,$

$(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'\,$

$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

Összetett függvény

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'\,$

$(f\circ g\circ h)'=(f'\circ g\circ h)(g'\circ h)h'\,$

L'Hospital-szabályok

Tétel -- Gyenge L'Hospital-szabály -- Legyenek f és g: A $\to$ R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a lim_u(f/g), és

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}$

Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A $\to$ R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}$

és ∃lim_uε=ε(u)=0, ∃lim_uη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)+\varepsilon(x)}{g'(u)+\eta(x)}$

Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.

Amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}-\frac{1}{1-\cos x}=?$

Amikor nem működik az ismételt L'Hospitálás

$\lim\limits_{x\to 0+}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{2}{x}}+e^{\frac{3}{x}}}=?$

A derivált szakadásai, Darboux-tétel Intervallumon deriválható függvény deriváltjának nem lehet megszüntethető szakadása. (Ellenben lehet korlátos másodfajú és a végtelen másodfajú szakadása.)

Állítás. Ha f:[a,b] $\to$ R folytonos a-ban, differenciálható a nyílton és létezik a derivált határértéke a-ban és ez véges szám, akkor f-nek létezik a deriváltja a-ban (és a deriváltja a lim_a f' szám).

Bizonyítás. Ez az erős L'Hospital-tétel következménye. Tekintsük a különbségi hányados függvényt, legyen a L'H-beli számláló az x $\mapsto$ f(x)-f(a), a nevező az x $\mapsto$ x-a. Világos, hogy a-ban 0/0 alakú, így alkalmazható a L'H-szabály. Ekkor

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{1}=\lim\limits_{x\to a}f'(x)$

azaz létezik a pontbeli derivált és ez a derivált határértéke. QED

A deriváltfüggvénynek nem lehet ugrása sem:

Tétel – Darboux-tétel – Ha f:I $\to$ R differenciálható, akkor f' Darboux-tulajdonságú (két deriváltérték között a deriváltfüggvény minden értéket fölvesz).

Bizonyítás. Legyen [a,b] ⊆ I és tegyük fel, hogy f'(a) < m < f'(b) tetszőlegesen rögzített m-re. Belátjuk, hogy van olyan ξ ∈ (a,b), hogy f'(ξ) = m. Transzformáljuk el a függvényt, vonjuk ki belőle az x $\mapsto$ mx lineárist:

$g(x):=f(x)-mx,\quad\quad x\in[a,b]$

g differenciálható, és olyan, hogy tetszőleges x-re:

$g'(x)=0\quad\Leftrightarrow\quad f'(x)=m\,$

A feladat tehát, hogy keressünk zérushelyet g'-nek. Ehhez elég, ha találunk g értelmezési tartományának belsejében szélsőértéket, mert akkor a Fermat-féle szélsőértéktétel miatt ott a derivált nulla lesz. Az [a,b] zárton a folytonos g a Weierstrass-tétel miatt felveszi a szélsőértékeit. Tehát készen vagyunk, amennyiben létezik szélsőérték az (a,b) nyílton. A továbbiakban ezt bizonyítjuk.

Vizsgáljuk a g-t az a-ban. g'(a) < 0, ezért

$\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}<0\,$

Ekkor természtesen egy valamely ε>0-ra minden x ∈ (a,a+ε)-re

$\frac{g(x)-g(a)}{x-a}<0\,$

és innen

$g(x)<g(a)\,$

vagyis a-ban nem lehet g-nek minimuma. De ugyanilyen érveléssel g'(b) > 0 miatt valamely ε>0 számmal ha x ∈ (b-ε,b), akkor x-b < 0 és

$\lim\limits_{x\to b}\frac{g(x)-g(b)}{x-b}<0\,$

$\frac{g(x)-g(b)}{x-b}>0\quad\quad/\cdot (x-b)\quad(<0)$

$g(x)<g(b)\,$

azaz b-ben sem lehet minimum. Viszont ez azt jelenti, hogy a Weierstrass-tétel által garantált minimum csak az (a,b) nyíltban lehet. QED