Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlat 9

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Új oldal, tartalma: „==Inverzfüggvénytétel '''R'''-re== '''Inverzfüggvény deriváltja.''' Ha az ''f'' invertálható függvény differenciálható ''u''-ban, ''f'' <sup>-1</sup> folyt…”)
 
(Inverzfüggvénytétel R-re)
14. sor: 14. sor:
 
függvény akkor lesz folytonos és ''v''-ben eltűnő, ha maga f<sup>-1</sup> is folytonos ''v''-ben.
 
függvény akkor lesz folytonos és ''v''-ben eltűnő, ha maga f<sup>-1</sup> is folytonos ''v''-ben.
  
'''Megjegyzás.''' A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:
+
'''Megjegyzés.''' A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:
 
:<math>\mathrm{Dom}\,f=\mathbf{R}\setminus\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n\in \mathbf{Z}^+}</math>
 
:<math>\mathrm{Dom}\,f=\mathbf{R}\setminus\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n\in \mathbf{Z}^+}</math>
 
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}x, & \mathrm{ha} &  x\not\in \mathbf{Z}^+\\
 
:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix}x, & \mathrm{ha} &  x\not\in \mathbf{Z}^+\\
32. sor: 32. sor:
 
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
 
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
 
\end{matrix}\right.</math>
 
\end{matrix}\right.</math>
''Megoldás.'' Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
+
''Megoldás.'' Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhalmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
 
:<math>\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)</math>
 
:<math>\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)</math>
 
:<math>f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
 
:<math>f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
52. sor: 52. sor:
 
''Bizonyítás.'' 1) A derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Darboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát ''f'' szigorúan monoton, így invertálható.
 
''Bizonyítás.'' 1) A derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Darboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát ''f'' szigorúan monoton, így invertálható.
  
2) Minden ''a'' &isin; I pontban a derivált nem nulla és folytonos, így létezik olyan környzete, melyben a derivált mindenhol egy L pozitív számál nagyobb. Ezért a Lagrange-tétel miatt a környzet bármely két <math>x_1</math>, <math>x_2</math> pontjára:
+
2) Minden ''a'' &isin; I pontban a derivált nem nulla és folytonos, így létezik olyan környezete, melyben a derivált mindenhol egy L pozitív számál nagyobb. Ezért a Lagrange-tétel miatt a környzet bármely két <math>x_1</math>, <math>x_2</math> pontjára:
 
:<math>0<L\leq f'(\xi)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math>
 
:<math>0<L\leq f'(\xi)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math>
 
Emiatt az x=f<sup>-1</sup>(y) áttéréssel:
 
Emiatt az x=f<sup>-1</sup>(y) áttéréssel:
58. sor: 58. sor:
 
azaz
 
azaz
 
:<math>\frac{1}{L}|y_1-y_2|\geq |f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)w\,</math>  
 
:<math>\frac{1}{L}|y_1-y_2|\geq |f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)w\,</math>  
azaz az inverz lipschitzes a környzetben, azaz a pontban folytonos.
+
azaz az inverz lipschitzes a környezetben, azaz a pontban folytonos.
 
3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az ''u''-beli diffhatóság miatt:
 
3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az ''u''-beli diffhatóság miatt:
 
:<math>f(x)-f(u)=f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)\,</math>
 
:<math>f(x)-f(u)=f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)\,</math>
88. sor: 88. sor:
 
Ekkor a globális inverzfüggvény-tételből következőleg a g szigorúan monoton, inverze differenciálható és kifejezhető x=g(t)-ből a t:
 
Ekkor a globális inverzfüggvény-tételből következőleg a g szigorúan monoton, inverze differenciálható és kifejezhető x=g(t)-ből a t:
 
:<math>t=g^{-1}(x),\quad x\in [c,d]</math>
 
:<math>t=g^{-1}(x),\quad x\in [c,d]</math>
ahol [c,d] a g értékkészélete.
+
ahol [c,d] a g értékkészlete.
  
 
Ezzel a görbe implicit módon is megadható lesz, mint az
 
Ezzel a görbe implicit módon is megadható lesz, mint az
98. sor: 98. sor:
 
amit Cauchy-féle középértékételnek nevezünk.
 
amit Cauchy-féle középértékételnek nevezünk.
  
Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriválttas alakjára:-->
+
Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriváltas alakjára:-->

A lap 2017. május 21., 09:23-kori változata

Inverzfüggvénytétel R-re

Inverzfüggvény deriváltja. Ha az f invertálható függvény differenciálható u-ban, f -1 folytonos u-ban és f'(u) ≠ 0, akkor az inverz is differenciálható u-ban és

(f^{-1})'(f(u))=\frac{1}{f'(u)}\,

Biz.

f(x)-f(u)=f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)\,
f(x)-f(u)=(f'(u)+\varepsilon(x))(x-u)\quad\quad(x=f^{-1}(y),\;\;u=f^{-1}(v))
y-v=(f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y)))(f^{-1}(y)-f^{-1}(v))\,
\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}(y-v)=f^{-1}(y)-f^{-1}(v)\,
\frac{1}{f'(u)}(y-v)+\left(\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}-\frac{1}{f'(u)}\right)(y-v)=f^{-1}(y)-f^{-1}(v)\,

Itt az

\eta(y)=\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}-\frac{1}{f'(u)}\,

függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.

Megjegyzés. A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:

\mathrm{Dom}\,f=\mathbf{R}\setminus\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n\in \mathbf{Z}^+}
f(x)=\left\{\begin{matrix}x, & \mathrm{ha} &  x\not\in \mathbf{Z}^+\\
\frac{1}{x}, & \mathrm{ha} & x= n\in \mathbf{Z}^+
\end{matrix}\right.

f ekkor a 0-ban deriválható és f '(0)=1, invertálható, mert R \ (1/Z+) \ Z+-n az identitás és az Z+-n pedig az 1/id, mely értékei vétetnek fel az R \ (1/Z+)- halmaz képeiként. Viszont így f-1 nem korlátos 0-ban, azaz nem folytonos, így nem is differenciálható.

Állítás. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos (tehát ez esetben még akkor is folytonos az inverz, ha a függvénynek magának ugrása van).

Erre a meglepő eredményre egy illusztráló példát adunk.

Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.

Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhalmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:

\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)
f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
-\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} &  y<-1\\
0, & \mathrm{ha} & y= 0\\
\sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} &  y>1
\end{matrix}\right.

Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.

Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I \to R függvény folytonosan differenciálható és f' sehol se nulla, akkor

  1. f invertálható
  2. f inverze folytonos (f homeomorfizmus)
  3. f inverze deriválható (f diffeomorfizmus)
  4. minden x ∈ I-re
(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\,

Megjegyzés. Részletesebb indoklás azt is kimutatja, hogy a derivált folytonossága nem szükséges (bár nem árt :).

Bizonyítás. 1) A derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Darboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható.

2) Minden a ∈ I pontban a derivált nem nulla és folytonos, így létezik olyan környezete, melyben a derivált mindenhol egy L pozitív számál nagyobb. Ezért a Lagrange-tétel miatt a környzet bármely két x1, x2 pontjára:

0<L\leq f'(\xi)=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}

Emiatt az x=f-1(y) áttéréssel:

L\leq |\frac{x_1-x_2}{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)}|\,

azaz

\frac{1}{L}|y_1-y_2|\geq |f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)w\,

azaz az inverz lipschitzes a környezetben, azaz a pontban folytonos. 3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az u-beli diffhatóság miatt:

f(x)-f(u)=f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)\,
f(x)-f(u)=(f'(u)+\varepsilon(x))(x-u)\quad\quad(x=f^{-1}(y),\;\;u=f^{-1}(v))
y-v=(f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y)))(f^{-1}(y)-f^{-1}(v))\,
\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}(y-v)=f^{-1}(y)-f^{-1}(v)\,
\frac{1}{f'(u)}(y-v)+\left(\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}-\frac{1}{f'(u)}\right)(y-v)=f^{-1}(y)-f^{-1}(v)\,

Itt az

\eta(y)=\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}-\frac{1}{f'(u)}\,

függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.


Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!

Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis

\frac{1}{\sin'(x)}=\frac{1}{\cos(x)}>0,\quad \mathrm{ha}\quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}

az inverze:

(f^{-1})'(y)=(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\cos(\mathrm{arc\,\sin}(y))}=
=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\mathrm{arc\,sin}(y))}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}


Személyes eszközök