Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlati tematika
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
9. sor: | 9. sor: | ||
'''4. Numerikus sorok''' | '''4. Numerikus sorok''' | ||
− | :(Sor konvergenciájának definíciója, '''gyökkritérium és bizonyítása''', Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs | + | :(Sor konvergenciájának definíciója, '''gyökkritérium és bizonyítása''', Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium) |
'''5. Folytonosság''' | '''5. Folytonosság''' | ||
20. sor: | 20. sor: | ||
:(Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, '''a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix''', Young-tétel) | :(Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, '''a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix''', Young-tétel) | ||
− | '''8. Implicit és inverz függvény tétel''' | + | '''8. Differenciálási szabályok és L'Hospital-szabály''' |
+ | :(Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai, L'Hospital-szabályok, '''a L'Hospital-szabály bizonyítása nulladik közelítésben''', szakadás, megszüntethető szakadás, első és másodfajú szakadás, Darboux-tétel) | ||
+ | |||
+ | '''9. Implicit és inverz függvény tétel''' | ||
:(Inverz definíciója, '''egyváltozós függvény inverzének létezése,''' két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel) | :(Inverz definíciója, '''egyváltozós függvény inverzének létezése,''' két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel) | ||
− | ''' | + | '''10. Valós értékű függvények vizsgálata''' |
:(A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, '''Lagrange-tétel és bizonyítása''') | :(A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, '''Lagrange-tétel és bizonyítása''') | ||
− | ''' | + | '''11. Egyváltozós Riemann-integrál ''' |
− | :(Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton | + | :(Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvények szakadásai, primitív függvény, '''Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása''') |
− | ''' | + | '''12. Improprius integrál''' |
+ | :(Improprius integrál és létezésének kritériumai, összehasonlító kritériumok, ekvikonvergencia (Serény-) kritérium, forgástestek térfogatának kiszámítása, integrálkritérium sorokra | ||
+ | |||
+ | '''123. Integrálási stratégiák''' | ||
+ | :('''A helyettesítéses és parciális integrálás formulái és bizonyításuk''', helyettesítés a határozott integrálban, integrálás helyettesítéssel (gyökös, exponenciális, trigonometrikus helyettesítés), elemi függvények inverzeinek integrálása) | ||
+ | |||
+ | '''14. Többváltozós Riemann-integrálja''' | ||
:(Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, '''a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal''', integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség) | :(Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, '''a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal''', integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség) | ||
− | ''' | + | '''15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése''' |
− | :( | + | :(Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, '''polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa''', integrálok felcserélése) |
+ | |||
+ | '''16. Lineáris leképezések''' | ||
+ | :(Lineáris tér és altér definíciója, lineáris leképezés definíciója, képtér és magtér dimenziója, rang, '''dimenziótétel és bizonyítása''') | ||
+ | |||
+ | '''17. Leképezések mátrixa és determinánsa''' | ||
+ | :(Leképezések mátrixa, leképezés mátrixának transzformációja bázisváltáskor, '''a determináns invarianciája bázisváltáskor és ennek bizonyítása''', ortogonális mátrixok és ortonormált bázis, '''a transzponált invarianciája ortonormált bázisváltás esetén és ennek bizonyítása''', determinánsok szorzástétele) | ||
+ | |||
+ | '''18. Mátrixalgebra''' | ||
+ | :(Mátrixszorzás és mátrixgyűrű definíciója, inverz mátrix definíciója, létezésének feltételei, kiszámítása, nullosztó, nillpotens mátrix, nem kommutáló mátrixok, '''inverz adjungáltas képletének bizonyítása''' ) | ||
+ | |||
+ | '''19. Gauss-elimináció''' | ||
+ | :(Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldása, lépcsős és redukált lépcsős alak, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén egyenlet megoldástere, magtér meghatározása, sortér és sortranszformációk, oszloptér és sortranszformációk, '''inverz mátrix meghatározása és az eljárás jóságának igazolása''', LU-felbontás) | ||
− | ''' | + | '''20. Sajátprobléma''' |
+ | :(Leképezés sajátértéke és sajátvektora, sajátaltér, '''sajátérték meghatározása és az eljárás jóságának bizonyítása''', főtengelytétel, diagonalizáció, Jordan-normálforma.) |
A lap 2015. május 24., 12:25-kori változata
1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája
- (Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája)
2. Konvergencia függvényterekben
- (R, Rn, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája, határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása)
3. Speciális függvénysorok
- (Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, az arctg sorfejtése [-π/4,π/4]-ben, hatványsor együtthatósorozatának egyértelműsége, Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal,h a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, függvényátlag a sorban (a0), páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora)
4. Numerikus sorok
- (Sor konvergenciájának definíciója, gyökkritérium és bizonyítása, Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium)
5. Folytonosság
- (Bolzano- ill. egy és többváltozós Weierstrass-tétel és bizonyítása, egyenletes folytonosság, Heine tétele, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, folytonosság és határérték kapcsolata)
6. Egyenletes folytonosság
- (Egyenletes folytonosság definíciója, Heine tétele és bizonyítása, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira)
7. Differenciálhatóság
- (Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix, Young-tétel)
8. Differenciálási szabályok és L'Hospital-szabály
- (Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai, L'Hospital-szabályok, a L'Hospital-szabály bizonyítása nulladik közelítésben, szakadás, megszüntethető szakadás, első és másodfajú szakadás, Darboux-tétel)
9. Implicit és inverz függvény tétel
- (Inverz definíciója, egyváltozós függvény inverzének létezése, két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel)
10. Valós értékű függvények vizsgálata
- (A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, Lagrange-tétel és bizonyítása)
11. Egyváltozós Riemann-integrál
- (Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvények szakadásai, primitív függvény, Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása)
12. Improprius integrál
- (Improprius integrál és létezésének kritériumai, összehasonlító kritériumok, ekvikonvergencia (Serény-) kritérium, forgástestek térfogatának kiszámítása, integrálkritérium sorokra
123. Integrálási stratégiák
- (A helyettesítéses és parciális integrálás formulái és bizonyításuk, helyettesítés a határozott integrálban, integrálás helyettesítéssel (gyökös, exponenciális, trigonometrikus helyettesítés), elemi függvények inverzeinek integrálása)
14. Többváltozós Riemann-integrálja
- (Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal, integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség)
15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése
- (Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa, integrálok felcserélése)
16. Lineáris leképezések
- (Lineáris tér és altér definíciója, lineáris leképezés definíciója, képtér és magtér dimenziója, rang, dimenziótétel és bizonyítása)
17. Leképezések mátrixa és determinánsa
- (Leképezések mátrixa, leképezés mátrixának transzformációja bázisváltáskor, a determináns invarianciája bázisváltáskor és ennek bizonyítása, ortogonális mátrixok és ortonormált bázis, a transzponált invarianciája ortonormált bázisváltás esetén és ennek bizonyítása, determinánsok szorzástétele)
18. Mátrixalgebra
- (Mátrixszorzás és mátrixgyűrű definíciója, inverz mátrix definíciója, létezésének feltételei, kiszámítása, nullosztó, nillpotens mátrix, nem kommutáló mátrixok, inverz adjungáltas képletének bizonyítása )
19. Gauss-elimináció
- (Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldása, lépcsős és redukált lépcsős alak, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén egyenlet megoldástere, magtér meghatározása, sortér és sortranszformációk, oszloptér és sortranszformációk, inverz mátrix meghatározása és az eljárás jóságának igazolása, LU-felbontás)
20. Sajátprobléma
- (Leképezés sajátértéke és sajátvektora, sajátaltér, sajátérték meghatározása és az eljárás jóságának bizonyítása, főtengelytétel, diagonalizáció, Jordan-normálforma.)