Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 1.

A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2010. október 18., 10:12-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

1. (Lineáris helyettesítés) Mi az általános megoldása?

y'=\sqrt{y-2x}

Mo. Legyen u=y-2x, ekkor du=dy-2dx, azaz

u'=y'-2\,

Innen:

u'+2=\sqrt{u}\,
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2+\sqrt{u}
\frac{\mathrm{d}u}{2+\sqrt{u}}=\mathrm{d}x

A baloldalt gyökös helyettesítéssel integráljuk: t2 = u, du=2t dt, azaz

\frac{2t\mathrm{d}t}{2+t}=2\frac{(t+2-2)\mathrm{d}t}{2+t}=(2-\frac{4}{2+t})\mathrm{d}t

Innen:

2\sqrt{u}-4\mathrm{ln}|2+\sqrt{u}|=x+C, azaz

ezt kell y-nal kifejezni.

2. (Kezdeti érték probléma) Oldjuk meg az

\sin y\,\mathrm{d}y-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x=0

egyenletet az

a)  y(0)=-\frac{\pi}{2}
b) y(0)=\frac{\pi}{4}
c) y(0)=\frac{\pi}{4}+2\pi

kezdeti feltételekkel.

Mo. Nem egzakt, de valójában az egyenlet a

y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}

és ez szeparábilis. Sőt, egzakttá tehető az (1/cos^4 y) integráló szorzóval.

a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2
-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2
\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C

Az implicit egyenlet:

cos − 3y = x3 + 3C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}

és

y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}

c) ugyanez + 2π

HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az

a) y(0)=1,
b) y(0)=e

kezdeti feltételek mellett!

3. (Állandó variálása)

y'+\frac{1}{x}y=\sin(x^2)\,

4. (Kezdeti értékes állandóegyütthatós lineáris)


y''-2y'+y=0,\quad\quad(y(0)=1,\;y'(0)=-2)

5. (Rendszer)

\dot{x_1}=2 x_1+3x_2
\dot{x_2}= x_1+4x_2

Mo. Ha a feladat

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}

alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix:

B=(s_1,s_2)\,,

akkor a megoldás

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}

Itt a sajátértékefeladat megoldása:

(2-\lambda)\cdot (4-\lambda)-3=0\,

azaz

\lambda^2-6\lambda+8-3=0\,
\lambda_{1,2}=1;5\,

6.

y^{(6)}+4y^{(3)}+3y=x^2\,

Mo.

Kar. egy:


\lambda^6+4\lambda^3+3=0\,
(\lambda)^3_{1,2}=-1;-3

-1, -3 háromszoros gyökök, tehát:

ya = c1ex + c2xex + c3x2ex + c4e − 3x + c5xe − 3x + c6x2e − 3x

A próbafüggvény: y=Ax2+Bx+C, tehát:

4Ax2 + 4Bx + 4C = x2

azaz A=1/4, B=C=0.

Személyes eszközök