Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 1.
1. (Lineáris helyettesítés) Mi az általános megoldása?
Mo. Legyen u=y-2x, ekkor du=dy-2dx, azaz
Innen:
A baloldalt gyökös helyettesítéssel integráljuk: t2 = u, du=2t dt, azaz
Innen:
- , azaz
ezt kell y-nal kifejezni.
2. (Kezdeti érték probléma) Oldjuk meg az
egyenletet az
- a)
- b)
- c)
kezdeti feltételekkel.
Mo. Nem egzakt, de valójában az egyenlet a
és ez szeparábilis. Sőt, egzakttá tehető az (1/cos^4 y) integráló szorzóval.
a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.
b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:
Az implicit egyenlet:
- cos − 3y = x3 + 3C
Ha x=0 és y=π/4, akkor
és
c) ugyanez + 2π
HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az
- a) y(0)=1,
- b) y(0)=e
kezdeti feltételek mellett!
3. (Állandó variálása)
4. (Kezdeti értékes állandóegyütthatós lineáris)
5. (Rendszer)
Mo. Ha a feladat
alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix:
- ,
akkor a megoldás
Itt a sajátértékefeladat megoldása:
azaz
6.
Mo.
Kar. egy:
-1, -3 háromszoros gyökök, tehát:
- ya = c1e − x + c2xe − x + c3x2e − x + c4e − 3x + c5xe − 3x + c6x2e − 3x
A próbafüggvény: y=Ax2+Bx+C, tehát:
- 4Ax2 + 4Bx + 4C = x2
azaz A=1/4, B=C=0.