Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 2.

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Inomogén lineáris differenciál egyenlet rendszer)
(→Mo.)
102. sor: 102. sor:
 
===Mo.===
 
===Mo.===
 
Homogén:
 
Homogén:
−
:<math>\begin{pmatrix}1 & -1// 2 & 4\end{pmatrix}</math>
+
:<math>\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}</math>
 +
Sajátértékek:
 +
:<math>(1-\lambda)(4-lambda)+2=0</math>
 +
:<math>\lambda^2-5\lambda+6=0</math>
 +
:<math>\lambda_{1,2}=2;3\,</math>
 +
Sajátvektorok:
 +
:<math>\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix}</math>
 +
Innen:
 +
:<math>s_1=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}</math>
 +
:<math>\begin{pmatrix}-2 & -1\\ 2 & 1\end{pmatrix}</math>
 +
:<math>s_1=\begin{pmatrix}-1\\ -1\end{pmatrix}</math>

A lap 2012. október 8., 11:22-kori változata

Tartalomjegyzék

Lineáris helyettesítés

Mi az általános megoldása?

y'=-2(2x+4y)^2\,

Mo.

Legyen u=2x+4y, ekkor du=2dx+4dy, azaz

u'=2+4y'\,

Innen:

u'-2=-8u^2\,
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2-8u^2
\frac{\mathrm{d}u}{1-4u^2}=2\mathrm{d}x
\int\frac{\mathrm{d}u}{1-4u^2}=2x+C
\int\frac{1}{2}\frac{1}{1+2u}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-2u}\mathrm{d}u=2x+C
\frac{1}{4}\mathrm{ln}|1+2u|-\frac{1}{4}\mathrm{ln}|1-2u|=2x+C

Implicit általános megoldás:

\mathrm{ln}\frac{|1+2u|}{|1-2u|}=8x+const.
\frac{4x+8y+1}{-4x-8y+1}=Ke^{8x},\quad\quad (K>0)

Kezdeti érték probléma

Oldjuk meg az

-x^2\cos^4y\,\mathrm{d}x+\sin y\,\mathrm{d}y=0

egyenletet az

a) y(0)=-\frac{\pi}{2}
b) y(0)=\frac{\pi}{4}
c) y(0)=\frac{\pi}{4}+2\pi

kezdeti feltételekkel.

1. Mo.

Nem egzakt:

\frac{\partial P}{\partial y}=4x^2\cos^{3}y(\sin y)
\frac{\partial Q}{\partial x}=0

Egzakttá tehető, ugyanis:

-\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}{P}=\frac{4x^2\cos^{3}y(\sin y)}{x^2\cos^4y}=\frac{4\sin y}{\cos y}
\mu=e^{\int\frac{4\sin y}{\cos y}}=e^{-4 \mathrm{ln}|cos y |}=\frac{1}{\cos^4y}

Emiatt

-x^2\,\mathrm{d}x+\frac{\sin y}{\cos^4 y}\,\mathrm{d}y=0

Megoldása:

-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{3\cos^3 y}\,=C

2. Mo.

Persze szeparábilis is:

y'=x^2\frac{\cos^4 y}{\sin y}

a) Ez egy konstans megoldás (y(x)=π/2) és nincs másik a (0,π/2)-n áthaladó, mert az y szerinti parciális derivált korlátos.

b) Az általános megoldásból keressük a kezdeti feltételt kielégítő megoldást:

\frac{\sin y}{\cos^4 y}y'=x^2
-\cos^{-4} y(-\sin y)\,y'=x^2
\frac{1}{3}\cos^{-3} y=\frac{1}{3}x^3+C

Az implicit egyenlet:

cos − 3y = x3 + 3C

Ha x=0 és y=π/4, akkor

3C=\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^3}

és

y(x)=\mathrm{arccos}\frac{1}{\sqrt[3]{x^3+\frac{24}{(\sqrt{2})^3}}}

c) ugyanez + 2π

HF. Oldjuk meg az y' = sin(x) yln(y) egyenletet az

a) y(0)=1,
b) y(0)=e

kezdeti feltételek mellett!

Függvényegyütthatós lineáris, állandó variálása

y'+\frac{1}{x}y=\sin(x^2)\,

Kezdeti értékes állandó együtthatós lineáris

y''-2y'+y=0,\quad\quad(y(0)=1,\;y'(0)=-2)

Homogén lineáris differenciál egyenlet rendszer

\dot{x_1}=2x_1+3x_2
\dot{x_2}= x_1+4x_2

Mo. Ha a feladat

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}^{\cdot}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}

alakú különböző valós sajátértékekkel, és az A-nak λ1, λ2-hoz tartozó sajátvektoraiból álló mátrix:

B=(s_1,s_2)\,,

akkor a megoldás

\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}e^{\lambda_1t}\\e^{\lambda_2 t}\end{pmatrix}

Itt a sajátértékefeladat megoldása:

(2-\lambda)\cdot (4-\lambda)-3=0\,

azaz

\lambda^2-6\lambda+8-3=0\,
\lambda_{1,2}=1;5\,

6.

y^{(6)}+4y^{(3)}+3y=x^2\,

Mo.

Kar. egy:

\lambda^6+4\lambda^3+3=0\,
(\lambda)^3_{1,2}=-1;-3

-1, -3 háromszoros gyökök, tehát:

ya = c1e − x + c2xe − x + c3x2e − x + c4e − 3x + c5xe − 3x + c6x2e − 3x

A próbafüggvény: y=Ax2+Bx+C, tehát:

4Ax2 + 4Bx + 4C = x2

azaz A=1/4, B=C=0.

Inomogén lineáris differenciál egyenlet rendszer

\dot{x_1}=x_1-x_2+t
\dot{x_2}= 2x_1+4x_2-t

Mo.

Homogén:

\begin{pmatrix}1 & -1\\ 2 & 4\end{pmatrix}

Sajátértékek:

(1 − λ)(4 − lambda) + 2 = 0
λ2 − 5λ + 6 = 0
\lambda_{1,2}=2;3\,

Sajátvektorok:

\begin{pmatrix}-1 & -1\\ 2 & 2\end{pmatrix}

Innen:

s_1=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-2 & -1\\ 2 & 1\end{pmatrix}
s_1=\begin{pmatrix}-1\\ -1\end{pmatrix}
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Szerkeszt%C5%91:Mozo/A3_gyakorl%C3%B3_feladatok_2.&oldid=7886”
Személyes eszközök