Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felszín) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felszín) |
||
42. sor: | 42. sor: | ||
'''2.''' a) Számítsuk ki a <math>z=x^2-y^2</math> egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az <math>x^2+y^2\leq 4</math>, <math>x\geq 0</math> feltételek adnak meg! | '''2.''' a) Számítsuk ki a <math>z=x^2-y^2</math> egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az <math>x^2+y^2\leq 4</math>, <math>x\geq 0</math> feltételek adnak meg! | ||
− | b) Számítsuk ki a <math>z=\frac{x^2}{2y}</math> egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az <math> | + | b) Számítsuk ki a <math>z=\frac{x^2}{2y}</math> egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az <math>0\leq x\leq 1</math>, <math>1\leq y\leq 3</math> feltételek adnak meg! |
c) Számítsuk ki az <math>\mathbf{r}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,u)</math> felület azon darabjának felszínét, melyet a <math>0\leq u\leq 2</math>, <math>0\leq v\leq \pi</math> feltételek adnak meg! | c) Számítsuk ki az <math>\mathbf{r}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,u)</math> felület azon darabjának felszínét, melyet a <math>0\leq u\leq 2</math>, <math>0\leq v\leq \pi</math> feltételek adnak meg! | ||
52. sor: | 52. sor: | ||
:<math>T_{r,\varphi}=\{(r,\varphi)\mid 0\leq r\leq 2, -\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq \frac{\pi}{2}\}</math> | :<math>T_{r,\varphi}=\{(r,\varphi)\mid 0\leq r\leq 2, -\frac{\pi}{2}\leq\varphi\leq \frac{\pi}{2}\}</math> | ||
:<math>A=\int\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{r=0}^2\sqrt{4r^2+1}\,r\,drd\varphi=\frac{1}{8}\int\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{r=0}^2\sqrt{4r^2+1}\,8r\,drd\varphi=\frac{1}{8}[\varphi]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cdot[\frac{2}{3}(4r^2+1)^{\frac{3}{2}}]_0^2=\frac{\pi}{24}(17^{\frac{3}{2}}-1)</math> | :<math>A=\int\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{r=0}^2\sqrt{4r^2+1}\,r\,drd\varphi=\frac{1}{8}\int\limits_{\varphi=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{r=0}^2\sqrt{4r^2+1}\,8r\,drd\varphi=\frac{1}{8}[\varphi]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cdot[\frac{2}{3}(4r^2+1)^{\frac{3}{2}}]_0^2=\frac{\pi}{24}(17^{\frac{3}{2}}-1)</math> | ||
+ | b) | ||
+ | :<math>\sqrt{(\frac{x}{y})^2+(-2\frac{x^2}{4y^2})^2+1}=\sqrt{\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^4}{4y^4}+1}=</math> | ||
+ | Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt egy teljes négyzet:<math> | ||
+ | =\sqrt{\frac{x^2}{y^2}+\frac{x^4}{4y^4}+1}=\sqrt{\left(\frac{x}{2y}+1\right)^2}=\left|\frac{x}{2y}+1\right|</math>, ami <math>\frac{x}{2y}+1</math>, a feltételek mellett <math>0\leq x\leq 1</math>, <math>1\leq y\leq 3</math>. | ||
+ | :<math>T_{x,y}=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,1\leq y\leq 3 \}</math> | ||
+ | :<math>A=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=1}^3\,\frac{x}{2y}+1\,dydx=\int\limits_{x=0}^1\,\left[2x(\ln y)+y\right]_{y=1}^3\,dx=\int\limits_{x=0}^1\,2x(\ln 3)+2\,dx=[x^2(\ln 3)+2x]_0^1=(\ln 3)+2</math> |
A lap 2017. január 14., 17:43-kori változata
Differenciálgeometria
Ívhossz és ívhosszparaméterezés
1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?
b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,1] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?
MO.: a)
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=1-től:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll:
- ez t>0-ra persze azonos 3t+2-vel.
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=0-tól:
Felszín
esetén
z = f(x,y) esetén
2. a) Számítsuk ki a z = x2 − y2 egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
b) Számítsuk ki a egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
c) Számítsuk ki az felület azon darabjának felszínét, melyet a , feltételek adnak meg!
MO.: a)
Mivel a tartomány is és a függvény is hengerszimmetriát mutat (minden amiben x2 + y2 van, az hengerszimmetrikus), ezért az integrált hengerkoordinátákban számítjuk ki. A tartomány derékszögű és polárparamméterezése (érdemes felrajzolni koordinátarendszerben és leolvasni az r-t, φ-t), r a Jacobi-determináns:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt egy teljes négyzet:, ami , a feltételek mellett , .