Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris állandóegyütthatós) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris állandóegyütthatós) |
||
78. sor: | 78. sor: | ||
− | '''2.''' <math>y''+4y=\sin(2x)\,</math> kezdeti feltételek: <math>y(0)=0</math>, <math>y'(0)= | + | '''2.''' <math>y''+4y=\sin(2x)\,</math> kezdeti feltételek: <math>y(0)=0</math>, <math>y'(0)=-1</math> |
MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg: | MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg: | ||
97. sor: | 97. sor: | ||
:<math>\,4A\cos(2x)-4B\sin(2x)=1\cdot\sin(2x)+0\cdot \cos(2x)</math> | :<math>\,4A\cos(2x)-4B\sin(2x)=1\cdot\sin(2x)+0\cdot \cos(2x)</math> | ||
Az együtthatókat leolvasva: | Az együtthatókat leolvasva: | ||
− | :<math>4A=0,-4B=1</math> | + | :<math>4A=0,-4B=1</math> azaz <math>A=0, B=-\frac{1}{4}</math> |
+ | :<math> | ||
+ | y=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> | ||
+ | A kezdeti érték: | ||
+ | :<math>y(0)=0\,</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | 0=C_1\,</math> | ||
+ | :<math>y'(0)=-1\,</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | y'=-2C_1\sin(2x)+2C_2\cos(2x)-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | -1=+2C_2-\frac{1}{2}</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | -\frac{1}{2}=+2C_2</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | -\frac{1}{4}=C_2</math> | ||
+ | |||
+ | |||
'''3.''' | '''3.''' | ||
:<math>y''-5y'+6=e^{2x}\,</math> kezdeti feltételek: <math>y(0)=0</math>, <math>y'(0)=0</math> | :<math>y''-5y'+6=e^{2x}\,</math> kezdeti feltételek: <math>y(0)=0</math>, <math>y'(0)=0</math> |
A lap 2017. január 14., 19:09-kori változata
Tartalomjegyzék |
Differenciálgeometria
Ívhossz és ívhosszparaméterezés
1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?
b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,1] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?
MO.: a)
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=1-től:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll:
- ez t>0-ra persze azonos 3t+2-vel.
Ívhossz: [1,e]-n:
Ívhossz paraméterezés t=0-tól:
Felszín
esetén
z = f(x,y) esetén
2. a) Számítsuk ki a z = x2 − y2 egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
b) Számítsuk ki a egyenlettel adott felület azon darabjának felszínét, melyet az , feltételek adnak meg!
c) Számítsuk ki az felület azon darabjának felszínét, melyet a , feltételek adnak meg!
MO.: a)
Mivel a tartomány is és a függvény is hengerszimmetriát mutat (minden amiben x2 + y2 van, az hengerszimmetrikus), ezért az integrált hengerkoordinátákban számítjuk ki. A tartomány derékszögű és polárparamméterezése (érdemes felrajzolni koordinátarendszerben és leolvasni az r-t, φ-t), r a Jacobi-determináns:
b)
Vegyük észre, hogy a négyzetgyök alatt egy teljes négyzet
- , ami , a , feltételek mellett.
Differenciálegyenletek
Lineáris állandóegyütthatós
ha a, b, c ∈ R.
Ilyenkor a homogén egyenlet megoldását az aλ2+bλ+c=0 karakterisztikus egyenlet megoldásából származó λ gyökökből száraztatjuk (bizonyítása a bizonyítások között).
- , ha
- , ha (gyök vagy belső rezonancia esete)
- , ha
Az inhomogén egyenlet megoldását a következő alakban keressük. Ha az inhomogén tag az alábbi alakban írható
ahol p(x) és q(x) polinomok és a a+ib ∈ C szám m szeres gyöke az aλ2+bλ+c karakterisztikus polinomnak, akkor az yp(x) partikuláris megoldásra a feltevés:
ahol P(x) és Q(x) olyan polinomok, hogy deg P(x)=deg Q(x)= max{deg p(x), deg q(x)}.
2. kezdeti feltételek: y(0) = 0, y'(0) = − 1
MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg:
- (tehát a megoldás , alakú, ahol α = 0,β = 2)
II. Vegyük észre, hogy a karakterisztikus egyenlet β = 2 gyöke rezonanciában van az sin(2x) inhomogén tag 2 frekvenciájával. Ekkor egy x szorzót veszünk hozzá az Asin(2x) + Bcos(2x) kifejezéshez, ezért a próbafüggvény:
lesz.
Behelyettesítve az egyenletbe:
Az együtthatókat leolvasva:
- 4A = 0, − 4B = 1 azaz
A kezdeti érték:
3.
- kezdeti feltételek: y(0) = 0, y'(0) = 0
MO.: I. Először a homogén egyenletet oldjuk meg:
II. Vegyük észre, hogy