Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2017. január 14., 15:54-kori változata

Differenciálgaometria

Ívhossz és ívhosszparaméterezés

$s=\int\limits_{t_1}^{t_2}|\dot{\mathbf{r}}(t)|dt$

$s(t')=\int\limits_{t_0}^{t'}|\dot{\mathbf{r}}(t)|dt$

$s=s(t')\qquad\to\qquad t'=t'(s)\qquad\to\qquad \mathbf{r}(s)=\mathbf{r}(t')|_{t'=t'(s)}$

1. a) Mi az alábbi görbe ívhossza a [1,e] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=1-tól kezdődően?

$\mathbf{r}(t)=(t\cos \ln t, t\sin \ln t, t)$

b) Mi az alábbi görbe ívhossza a [0,10] paraméterszakaszon és mi az ívhosszparaméterezése t=0-tól kezdődően?

$\mathbf{r}(t)=(t, 2t-1, 3(t+1))$

MO.: a)

$\dot{\mathbf{r}}(t)=(\cos\ln t-t\sin\ln t\cdot \frac{1}{t},\sin\ln t+t\cos\ln t\cdot \frac{1}{t}, 1)=(\cos\ln t-\sin\ln t,\sin\ln t+\cos\ln t, 1)$

$|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

@@ 13. sor: / 13. sor: @@
 MO.: a)
 :<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=(\cos\ln t-t\sin\ln t\cdot \frac{1}{t},\sin\ln t+t\cos\ln t\cdot \frac{1}{t}, 1)=(\cos\ln t-\sin\ln t,\sin\ln t+\cos\ln t, 1)</math>
+:<math>|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\sqrt{(\cos\ln t-\sin\ln t)^2+(\sin\ln t+\cos\ln t)^2+1}=\sqrt{\cos^2\ln t+\sin^2\ln t-2\cos\ln t\sin\ln t+\cos^2\ln t+\sin^2\ln t+2\cos\ln t\sin\ln t+1}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}</math>

Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 6.

A lap 2017. január 14., 15:54-kori változata

Differenciálgaometria

Ívhossz és ívhosszparaméterezés

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök